Dos postulados de los Elementos de Euclides reflejan la visión ideal de la regla y el compás heredada del mundo de las Ideas de Platón. Sobre estos dos postulados, en buena medida, el sabio alejandrino edificó la geometría plana y las construcciones que nos ha legado.
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El teorema llamado «del ángulo inscrito», que sigue formando parte de los conocimientos de cualquier alumno de secundaria, ya era conocido por los geómetras de la Antigüedad. A veces da lugar a aplicaciones insólitas.
Las construcciones geométricas como soporte del razonamiento triunfan en los Elementos. Los diversos métodos de enseñanza de la geometría, hasta nuestros días, se inspiran en ellas.
Algunos resultados profundos, como el teorema de Pitágoras, son anteriores a la conciencia de una ciencia matemática. Son estos resultados, una vez teorizados y demostrados, los que dieron origen al surgimiento de esta ciencia.
El quinto postulado de Euclides es distinto de los demás: parece demostrable. Sin embargo, su negación conduce a otras geometrías, llamadas no euclidianas. Estas tienen su lugar en el edificio matemático y aplicaciones tanto en aritmética, como mostró Poincaré, como en relatividad general.
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