Sin embargo, los matemáticos lograron desarrollar otro enfoque: Jacques Charles François Sturm (1803-1855) propuso, a los 26 años, un método que permite determinar el número de raíces reales entre dos cotas.
Ante una ecuación polinómica, una vez aplicado el método de Sturm, es posible aproximar cada una de las raíces, por ejemplo mediante procedimientos algorítmicos. La primera fase de este estudio se denomina cualitativa; la segunda, cuantitativa.
Cuando Henri Poincaré adopta, en sus primeros trabajos sobre ecuaciones diferenciales, su «nuevo objetivo de geometría cualitativa», se inspira en ello y lo traslada al estudio de las ecuaciones diferenciales. La imposibilidad de determinar las soluciones de estas ecuaciones no cierra el horizonte: abre otro enfoque. Un enfoque en el que la pregunta «¿cuáles son las propiedades de las ecuaciones diferenciales?» reviste el mayor interés.
Cuando se plantean cuestiones sobre la posición relativa de los astros —su estabilidad, su alejamiento o su aproximación—, resulta especialmente pertinente el estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales que modelizan el movimiento de los astros.
El estudio de las relaciones que subsisten en una figura cuando se la deforma de cualquier manera sin rasgarla ni superponer unas partes sobre otras, y que dará lugar a la topología algebraica, es otro ejemplo de su enfoque cualitativo de los problemas.
