Per un pentagono A1A2A3A4A5, indichiamo con *ai l’area del triangolo i cui vertici sono Ai* e i suoi due vertici adiacenti.
Un triangolo formato da un vertice e dai due vertici adiacenti.
Gauss dimostrò che l’area del pentagono è la radice maggiore del polinomio
x2 – sx + p dove s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 e p = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 + a5a1.
Nel caso del pentagono regolare, indicando con a l’area del triangolo formato da un vertice e dai due vertici adiacenti, si ha s = 5a,
p = 5a2, e dunque l’area del pentagono regolare vale dove φ è il numero aureo.
Questa relazione è in effetti equivalente a quella attribuita a Gaspard Monge:
a23a45 + a25a34 = a24a35 dove *aij indica l’area del triangolo A*1*AiAj*.
Triangoli coinvolti nella formula di Monge.
L’equivalenza tra le due formule si ottiene osservando che, se i tre vertici A1, *Ai, Aj sono consecutivi, allora aij è uno degli ai, mentre altrimenti si ha aij = A – ak – al, dove A è l’area del pentagono e i, j, k e l sono distinti e appartengono all’insieme (2, 3, 4, 5). Per esempio, a*34 = A – a2 – a5.
La relazione di Monge si dimostra invece ricorrendo alle sole formule elementari per il calcolo dell’area di un triangolo.
