Para un pentágono A1A2A3A4A5, denotemos por *ai el área del triángulo cuyos vértices son Ai* y sus dos vecinos.

Un triángulo de Gauss asociado a un vértice.

Gauss demostró que el área del pentágono es la raíz mayor del polinomio
x2 – sx + p, donde s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 y p = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 + a5a1.
En el caso del pentágono regular, si denotamos por a el área de este triángulo, se tiene s = 5a,
p = 5a2 y, por tanto, el área del pentágono regular es φ5a,\varphi \sqrt{5}a, donde φ es el número áureo.
Esta relación es, de hecho, equivalente a la atribuida a Gaspard Monge:
a23a45 + a25a34 = a24a35 donde *aij designa el área del triángulo A*1*AiAj*.
Triángulos que intervienen en la fórmula de Monge.
La equivalencia entre las dos fórmulas se obtiene al observar que, si los tres vértices A1, *Ai, Aj son consecutivos, entonces aij es uno de los ai, y que, en caso contrario, se tiene aij = A – ak – al, donde A es el área del pentágono y los índices distintos (i, j, k, l ) se toman del conjunto (2, 3, 4, 5). Por ejemplo, a*34 = A – a2 – a5.
La relación de Monge se demuestra, por su parte, usando únicamente las fórmulas elementales para calcular el área de un triángulo.