Pitágoras Herón

En el corazón de Herón ---------------

Las longitudes a, b, c de tres segmentos determinan, salvo una simetría, el triángulo que tiene esos segmentos por lados y, de manera unívoca, su área.

Como el área A del triángulo no depende de cómo se nombren los lados, buscamos una función f homogénea, de segundo grado y simétrica respecto de las variables a, b y c, de modo que f (λa, λb, λc) = λ²f (a, b, c) y que f (a, b, c) sea independiente del orden de las variables.

Cuando la longitud de un lado es igual a la suma de las longitudes de los otros dos, el triángulo es degenerado y su área es nula. Esta condición se escribe, por ejemplo, a = b + c, pero también, de forma más simétrica, 2a = a + b + c. Si llamamos p = (a + b + c)/2 al semiperímetro, un triángulo tiene, por tanto, área nula cuando su semiperímetro es igual a uno de sus lados.

Buscamos entonces una función g(a, b, c), homogénea, simétrica y de grado uno respecto de los lados, para poder escribir A² (a, b, c) = g (a, b, c)( p – a) ( p – b) ( p – c). La única posibilidad es que g (a, b, c) = Cp, donde C es una constante.