Nel cuore di Erone ---------------
La conoscenza delle lunghezze a, b, c di tre segmenti determina, a meno di una simmetria, il triangolo che ha tali segmenti come lati e, univocamente, la sua area.
Poiché l’area A del triangolo non dipende dai nomi assegnati ai lati, cerchiamo di esprimerla mediante una funzione f omogenea di secondo grado e simmetrica rispetto alle variabili a, b e c, tale dunque che f (λa, λb, λc) = λ2f (a, b, c) e che f (a, b, c) sia indipendente dall’ordine delle variabili.
Quando la lunghezza di un lato è uguale alla somma delle lunghezze degli altri due, il triangolo è degenere e la sua area è nulla. Questa condizione si scrive, per esempio, a = b + c, ma anche, in modo più simmetrico, 2a = a + b + c. Indicando con p = (a + b + c)/2 il semiperimetro, un triangolo ha dunque area nulla quando il semiperimetro è uguale a uno dei lati.
Cerchiamo allora una funzione g(a, b, c), omogenea, simmetrica e di primo grado nei lati, così da poter scrivere A2 (a, b, c) = g (a, b, c)( p – a) ( p – b) ( p – c). L’unica possibilità è che g (a, b, c) = Cp, dove C è una costante.