Prendete un pezzo di spago. Lo abbiamo sperimentato tutti: la superficie massima che si può delimitare con uno spago di lunghezza assegnata è un disco. Ma che cosa accade se si tende questo spago tra tre picchetti? Detto altrimenti, quale triangolo di perimetro assegnato ha l’area massima?
Intuitivamente, si può pensare che, per ragioni di simmetria, sia il triangolo equilatero a soddisfare questa condizione. Dimostrarlo sembra molto più difficile. Eppure la formula di Erone consente di cavarsela con poca fatica!
E gira, e rigira…
Sia dunque un triangolo di lati a, b e c; indichiamo con p il suo semiperimetro e con S la sua area. La disuguaglianza aritmetico-geometrica afferma che, dati tre numeri positivi x, y e z, si ha
