Un triangolo è rettangolo se e solo se il quadrato della lunghezza del lato maggiore è uguale alla somma dei quadrati degli altri due. Questo è l’enunciato del cosiddetto teorema «di Pitagora» della geometria euclidea.
(3, 4, 5) è l’esempio più noto di terna di numeri interi che fornisce le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo. Ciò trova applicazione nella realizzazione di uno strumento: la corda a tredici nodi, suddivisa regolarmente in dodici intervalli, permette di determinare i lati di un triangolo di lunghezze rispettivamente 3, 4 e 5. Questo triangolo è rettangolo e la corda a tredici nodi sarebbe stata, si dice, la squadra dei costruttori egizi.
Un problema in numeri interi ------------------------------
Più in generale, l’equazione *x 2 + *y 2 = *z 2, della quale si cercano soltanto le soluzioni (x, y, z) in cui x, y e z sono numeri interi non nulli, si chiama equazione pitagorica e le sue soluzioni terne pitagoriche. La questione diventa un problema di aritmetica! È un esempio di equazione polinomiale in una o più incognite, le cui soluzioni si cercano tra i numeri interi o, eventualmente, razionali, mentre anche i coefficienti sono interi. Per l’importanza del lavoro relativamente sistematico di Diofanto di Alessandria su questo argomento — come testimonia la sua Aritmetica nel 3º secolo — questo tipo di equazione prende il nome di equazione diofantea.
(3, 4, 5) è una terna pitagorica, mentre (1,1,2)\left(1,1,\sqrt{2}\right), pur verificando l’equazione *x 2 + *y 2 = *z 2, non lo è (infatti non è possibile scrivere 2\sqrt{2} come frazione di numeri interi: questo numero non è razionale).