L’Erone dello spazio

Come il triangolo nel piano, un tetraedro è interamente determinato dalla lunghezza dei suoi sei spigoli. Esiste dunque una formula analoga a quella di Erone per il tetraedro?

Sì: fu il grande matematico svizzero Leonhard Eulero (1707–1783), apparentemente ispirandosi ai lavori di Tartaglia nel Rinascimento, a scoprire una formula di questo tipo per un tetraedro. In questa relazione, a, b, c, d, e e f sono le lunghezze rispettive degli spigoli del tetraedro: lo spigolo a è opposto a e, lo spigolo c a d e lo spigolo b a f. Il volume del tetraedro (analogo all’area del triangolo nel piano) si indica con V. Si ha quindi:

12² V² = (a ²e ² + b² f ² + c ²d ²)(a ² + b ² + c ² + d ² + e ² + f ²) – 2(a ²e ² (a ² + e ²) \+ b ²f ²(b ² + f ²)+ c ²d ²(c ² + d ²)) – (a ²b ²d ² + a ²c ²f ² + b ²c ²e ² + d ²e ²f ²).