Une « formule de Héron » en 3D par Euler
Comme c’est le cas pour le triangle dans le plan, un tétraèdre est entièrement déterminé par la longueur de ses six arêtes. Aussi, existe-t-il une formule analogue à celle de Héron pour le tétraèdre ?
Oui, et c’est le grand mathématicien suisse Leonhard Euler (1707–1783), s’inspirant apparemment de travaux de Tartaglia à la Renaissance, qui a mis à jour une telle formule pour un tétraèdre. Dans cette relation, a, b, c, d, e et f sont les longueurs respectives des arêtes du tétraèdre, l’arête a étant opposée à e, l’arête c à d et l’arête b à f. Le volume du tétraèdre (analogue à l’aire du triangle dans le cas du plan) est noté V. On a donc :
122V2=(a2e2+b2f2+c2d2)(a2+b2+c2+d2+e2+f2)−2(a2e2(a2+e2)+b2f2(b2+f2)+c2d2(c2+d2))−(a2b2d2+a2c2f2+b2c2e2+d2e2f2).\begin{aligned} 12^2 V^2 &= (a^2e^2 + b^2f^2 + c^2d^2)(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2) \\ &\quad - 2(a^2e^2(a^2 + e^2) + b^2f^2(b^2 + f^2) + c^2d^2(c^2 + d^2)) \\ &\quad - (a^2b^2d^2 + a^2c^2f^2 + b^2c^2e^2 + d^2e^2f^2). \end{aligned}