formule de Brahmagupta

Imaginez une plaque rectangulaire de 4 cm sur 3 cm, dont les quatre coins touchent un même cercle. La formule de Brahmagupta retrouve son aire, 12 cm², à partir des seules longueurs 4, 3, 4 et 3 cm.

Ce raccourci vaut aussi pour les autres quadrilatères convexes inscrits dans un cercle. Le cercle est décisif : sans cette condition, quatre longueurs de côtés ne suffisent pas à fixer l’aire.

La formule de Brahmagupta calcule l’aire d’un quadrilatère convexe cyclique, c’est-à-dire inscriptible dans un cercle. Les longueurs de ses quatre côtés consécutifs sont notées a, b, c et d. Leur demi-périmètre, noté p, est la moitié de leur somme.

La grandeur S est l’aire du quadrilatère. Si les côtés sont exprimés dans une même unité de longueur, S s’exprime dans l’unité d’aire correspondante. Lorsque le quatrième côté devient nul, le quadrilatère dégénère en triangle et l’expression devient la formule de Héron. Si le quadrilatère n’est pas cyclique, la formule de Bretschneider ajoute un terme qui dépend des angles : les quatre côtés seuls ne déterminent alors pas l’aire.

Si un quadrilatère est convexe et ses quatre sommets appartiennent à un même cercle, alors son aire S se calcule avec les longueurs consécutives a, b, c et d. On commence par former leur demi-périmètre p.

Chaque facteur compare le demi-périmètre à l’un des côtés. La racine carrée donne l’aire, dans l’unité carrée associée aux longueurs.

La formule demande trois vérifications. Le quadrilatère doit être convexe ; ses quatre sommets doivent pouvoir appartenir à un même cercle ; enfin, les quatre côtés doivent être connus dans la même unité. Elle fournit alors une aire dans l’unité carrée correspondante.

Un quadrilatère quelconque dont les sommets ne sont pas sur un même cercle constitue un contre-cas. Même si ses quatre côtés sont mesurés, leur insertion dans la formule de Brahmagupta ne donne pas en général son aire réelle. Lorsque les données angulaires requises sont connues, on peut employer la formule plus générale de Bretschneider.

Considérons un rectangle de 4 cm sur 3 cm inscrit dans un cercle. Ses quatre sommets sont sur le cercle, il est convexe et ses côtés consécutifs mesurent 4 cm, 3 cm, 4 cm et 3 cm. La construction permet de suivre ces données sans ajouter de mesure.

1. Calcul du demi-périmètre. $p=\frac{4+3+4+3}{2}=7\mathrm{c}\mathrm{m}p=\backslash frac\{4+3+4+3\}\{2\}=7\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}$

2. Substitution. Les quatre facteurs valent successivement 3, 4, 3 et 4 cm.

3. Contrôle. La formule habituelle du rectangle donne aussi 4 × 3 = 12 cm². Les deux calculs exacts concordent.

Dans un exercice de géométrie, la formule évite de chercher une hauteur lorsque les quatre côtés sont donnés et que l’inscription dans un cercle est établie. Le premier geste consiste donc à vérifier cette propriété avant de calculer le demi-périmètre.

Pour un rectangle, le produit longueur × largeur reste le calcul le plus direct. Brahmagupta fournit toutefois un contrôle indépendant fondé sur les quatre côtés, comme dans l’exemple 4 cm sur 3 cm.

Pour un quadrilatère mesuré qui n’est pas cyclique, il ne faut pas forcer la formule. La présence de données angulaires signale que la formule de Bretschneider est l’outil adapté.

Avec la formule de Héron. Héron traite un triangle à partir de trois côtés ; Brahmagupta traite un quadrilatère cyclique à partir de quatre côtés. Un cas dégénéré où le quatrième côté est nul fait passer de la seconde à la première.

Avec la formule de Bretschneider. Brahmagupta exige un quadrilatère cyclique. Pour un quadrilatère non inscriptible, la formule plus générale de Bretschneider peut s'appliquer lorsque les données angulaires requises sont connues.

Quadrilatère non cyclique. Le symptôme est l'absence d'un cercle passant par les quatre sommets. Les quatre côtés seuls ne déterminent généralement pas l'aire : il faut une information supplémentaire. Si les données angulaires requises sont connues, la formule de Bretschneider est une option.

Quadrilatère non convexe. La formule est énoncée pour un quadrilatère convexe. Si un sommet rentre à l’intérieur de la forme, cette hypothèse échoue et le calcul ne doit pas être appliqué tel quel.

Cas dégénéré. Lorsque le quatrième côté vaut exactement 0, la figure devient un triangle. L’expression reste interprétable, mais elle doit alors être reconnue comme la formule de Héron, et non comme l’aire d’un quadrilatère non dégénéré.

Unités mélangées. Des côtés saisis en centimètres et en mètres rendent le produit incohérent. Toutes les longueurs doivent d’abord être converties dans une même unité ; l’aire obtenue est exprimée dans son carré.

formule de Héron. Retrouvez le calcul analogue pour un triangle et le rôle de son demi-périmètre.

quadrilatère. Replacez le cas cyclique parmi les propriétés générales des figures à quatre côtés.