El Herón del espacio

Al igual que ocurre con un triángulo en el plano, un tetraedro queda completamente determinado por la longitud de sus seis aristas. ¿Existe también una fórmula análoga a la de Herón para el tetraedro?

Sí; el gran matemático suizo Leonhard Euler (1707–1783), aparentemente inspirado en trabajos de Tartaglia durante el Renacimiento, descubrió una fórmula de este tipo para un tetraedro. En esta relación, a, b, c, d, e y f son las longitudes respectivas de las aristas del tetraedro: la arista a es opuesta a e, la arista c a d y la arista b a f. El volumen del tetraedro —análogo al área del triángulo en el plano— se representa por V. Por tanto:

12² V² = (a ²e ² + b² f ² + c ²d ²)(a ² + b ² + c ² + d ² + e ² + f ²) – 2(a ²e ² (a ² + e ²) \+ b ²f ²(b ² + f ²)+ c ²d ²(c ² + d ²)) – (a ²b ²d ² + a ²c ²f ² + b ²c ²e ² + d ²e ²f ²).