Des classiques au sommet
Depuis l’Antiquité, on s’est intéressé, pour des problèmes de remembrement, à calculer l’aire d’un quadrilatère. Le mathématicien indien Brahmagupta en a établi une formule à partir de la mesure de ses côtés, formule semblable à celle de Héron d’Alexandrie pour les triangles. Une généralisation de ces expressions a récemment permis de déterminer l’aire d’un pentagone quelconque à partir de ses côtés. Autre problème antique, la construction de polygones réguliers à la règle et au compas. Il faudra attendre le XIXe siècle, les travaux de Gauss et le développement de la théorie de Galois, pour déterminer lesquels sont effectivement constructibles selon les règles d’Euclide.
Tutti gli articoli di questo dossier
Pick, un teorema ispiratore sull’area dei poligoni | Tangente
Alcuni teoremi, per la semplicità dell’enunciato e l’originalità della dimostrazione, diventano esempi ricorrenti di creatività matematica. È il caso del teorema di Pick.
Tassonomia poligonale: classificare triangoli e quadrilateri | Tangente
Come il tassonomista inventaria e classifica le specie viventi, animali o vegetali, occupiamoci della classificazione dei poligoni più semplici confrontando le misure degli angoli o le lunghezze dei lati.
Quadrilateri circoscrittibili
L’ingegnere Henri Pitot (1695-1771) è ricordato per il tubo omonimo che propose nel 1732 per «misurare la velocità delle acque correnti e la scia delle imbarcazioni», ancora ampiamente usato in aerodinamica. Ma il primo interesse di questo autodidatta completo fu la geometria.
Eptadecagono: il vero e il falso
La teoria afferma che è possibile costruire, con la sola riga e il compasso, un poligono regolare di diciassette lati, un eptadecagono. Ma non precisa nulla sulla sua costruzione, tutt’altro che immediata.
Pitagora Erone
La formula di Erone si ritrova cercando di esprimere l’area di un triangolo in funzione dei suoi lati. Una sua variante ci restituisce il teorema di Pitagora.
I pentagoni di Robbins
Mentre la geometria dei triangoli e dei quadrilateri è studiata in dettaglio da secoli, quella dei pentagoni è stata esplorata solo di recente. Seguiamo insieme le orme di Erone, Brahmagupta e Robbins.
Un piccolo gioiello di Gauss
Triangoli e quadrilateri hanno ispirato una ricca letteratura matematica. Ma sembra che pochi si siano interessati da vicino ai pentagoni prima che un certo Carl Friedrich Gauss proponesse una piccola perla sul calcolo della loro area.
Il più grande piccolo poligono: massimizzare l’area a diametro fissato | Tangente
Esaminiamo i poligoni di diametro non superiore a uno, cioè tali che la distanza fra due qualsiasi dei loro punti non superi l’unità, e cerchiamo quello di area massima.