La recta geométrica
Desde Euclides, la recta es la base de la geometría. La mayoría de las figuras las contienen y numerosos teoremas han enfrentado el desafío de demostrar que ciertos puntos están alineados; de esto se deduce la existencia de rectas notables, como las de Euler o de Simson (ver al margen). Las rectas parecen « guiar » las curvas y las superficies. Una curva se asimila localmente a su tangente, en el infinito a su asíntota. Puede ser definida por una familia de rectas que resultan ser todas tangentes a ella: es la envolvente. Encontrar rectas en una superficie conduce a construirla mejor. Cosa sorprendente, ciertas superficies son incluso una reunión de rectas ¡mientras todo parece curvo en ellas!
Todos los artículos de este dossier
Euclides: una introducción a la recta
Redactados hace más de dos mil años, los Elementos de Euclides constituyen un texto fundacional de la geometría clásica. El concepto de recta desempeña en ellos un papel fundamental. Conozcamos a este sabio de la Antigüedad griega y detengámonos especialmente en su concepción de la recta.
Esas rectas que tienen nombre (2)
Algunas rectas tienen nombre y algunos matemáticos tienen una recta que lleva el suyo.
¡Milagrosos teoremas de alineación!
Una regla, un compás, un lápiz bien afilado y ¡ya empieza la aventura! A veces la sorpresa es mayúscula cuando tres puntos se encuentran en una misma recta. La geometría plana encierra multitud de teoremas de alineación, todos ellos fuente de asombro.
¡Superficies… hechas de rectas!
Un plano está generado por rectas y podríamos pensar que es la única superficie que puede construirse así. Pero no es cierto: las superficies generadas por rectas incluso tienen un nombre; son las superficies regladas.
Haces armónicos de rectas
¿Cómo expresar de manera sencilla que varias rectas concurren en un mismo punto? ¡Contra lo que pudiera parecer, la geometría pura no es la herramienta más adecuada! Introducir un sistema de referencia y algunas ecuaciones puede resultar más útil.
Envolventes cáusticas
Un conjunto de rectas cuya dirección varía continuamente puede dejar entrever la curva de la que todas ellas serían tangentes. Estas curvas, envolventes de rectas, aparecen como cáusticas en óptica. Sus propiedades dan lugar a métodos de construcción geométrica.
Las tangentes y las asíntotas
De la «tocante» de ayer a la tangente de hoy, de las «cantidades evanescentes» a las asíntotas, media una larga epopeya matemática. Estos son algunos episodios gloriosos de esta búsqueda geométrica que consiste en «aproximar la curva mediante la recta».