¿Cabe imaginar una figura más sencilla que un triángulo? Y, sin embargo, no siempre nos damos cuenta de adónde pueden llevarnos tres inofensivos puntos de un plano. Las rectas notables del triángulo ya nos sorprenden. Las tres mediatrices (las perpendiculares a cada lado que pasan por sus puntos medios) son concurrentes; las tres medianas (que pasan por el punto medio de un lado y por el vértice opuesto) también lo son, al igual que las tres alturas (rectas que pasan por un vértice y son perpendiculares al lado opuesto). Así se definen el centro O de la circunferencia circunscrita, el baricentro G y el ortocentro H del triángulo. Basta con esto para obtener el más célebre de los teoremas de alineación: O, G y H están en una misma recta, la recta de Euler (véase la página 24). Más notable aún: estos tres puntos siempre están alineados en este orden y OH = 3 OG.
-
Puntos, circunferencias y cuadriláteros
--------------------------------------------
Los pies de las alturas, los puntos medios de los segmentos que unen los lados con el ortocentro y los puntos medios de los lados del triángulo están todos en una misma circunferencia, llamada circunferencia de Feuerbach (véase le Cercle, Bibliothèque Tangente 36, 2009). Y el centro de esta circunferencia, cuyo radio es la mitad del de la circunferencia circunscrita, se encuentra… en la recta de Euler, en el punto medio de \[OH\].
Robert Simson ya conocía la existencia de la recta de Euler. Fueron dos brillantes geómetras franceses, Jean-Victor Poncelet y Charles-Julien Brianchon, quienes pusieron de manifiesto la circunferencia de Feuerbach en 1821. Pero la historia no se detuvo ahí, y muchos, siguiendo el ejemplo de Olry Terquem, descubrieron que otros puntos notables se encontraban en esta circunferencia.
