Si può immaginare una figura più semplice di un triangolo? Eppure non sempre ci rendiamo conto di dove possano condurci tre innocui punti in un piano. Già le rette notevoli del triangolo non mancano di stupirci. I tre assi dei lati (le perpendicolari a ciascun lato passanti per il suo punto medio) sono concorrenti; lo sono anche le tre mediane (che passano per il punto medio di un lato e per il vertice opposto) e le tre altezze (rette passanti per un vertice e perpendicolari al lato opposto). Si definiscono così il centro O della circonferenza circoscritta, il baricentro G e l’ortocentro H del triangolo. Basta questo per ottenere il più celebre dei teoremi di allineamento: O, G e H appartengono a un’unica retta, la retta di Eulero (vedi pagina 24). Più notevole ancora, questi tre punti sono sempre allineati in quest’ordine e OH = 3 OG.
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Punti, cerchi e quadrilateri
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I piedi delle altezze, i punti medi dei segmenti che uniscono i lati all’ortocentro e i punti medi dei lati del triangolo giacciono tutti su una stessa circonferenza, detta circonferenza di Feuerbach (vedi Le Cercle, Bibliothèque Tangente 36, 2009). E il centro di questa circonferenza, il cui raggio è la metà di quello della circonferenza circoscritta, si trova… sulla retta di Eulero, nel punto medio di \[OH\].
Robert Simson conosceva già l’esistenza della retta di Eulero. Furono due brillanti geometri francesi, Jean-Victor Poncelet e Charles-Julien Brianchon, a mettere in evidenza la circonferenza di Feuerbach nel 1821. Ma la storia non si fermò lì e molti, sull’esempio di Olry Terquem, scoprirono che altri punti notevoli si trovavano su questa circonferenza.
