Peut-on imaginer figure plus simple qu'un triangle ? Et pourtant, on ne se rend pas toujours compte de là où peuvent nous mener trois inoffensifs points dans un plan. Les droites remarquables du triangle ne manquent déjà pas de nous étonner. Les trois médiatrices (les perpendiculaires à chaque côté et passant par leurs milieux) sont concourantes, les trois médianes (qui passent par le milieu d'un côté et par le sommet opposé) le sont aussi, et les trois hauteurs (droites passant par un sommet et perpendiculaires au côté opposé) également. On définit ainsi le centre O du cercle circonscrit, le centre de gravité G et l'orthocentre H du triangle. Il n'en faut pas plus pour obtenir le plus célèbre des théorèmes d'alignement : O, G et H sont sur une seule et même droite, la droite d'Euler (voir en page 24). Plus remarquable encore, ces trois points sont toujours alignés dans cet ordre et OH = 3 OG.
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Des points, des cercles et des quadrilatères
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Les pieds des hauteurs, les milieux des segments reliant les côtés à l'orthocentre et les milieux des côtés du triangle sont tous sur un même cercle, dit cercle de Feuerbach (voir le Cercle, Bibliothèque Tangente 36, 2009). Et le centre de ce cercle, dont le rayon est deux fois plus petit que celui du cercle circonscrit, se trouve… sur la droite d'Euler, au milieu de \[OH\].
Robert Simson connaissait déjà l'existence de la droite d'Euler. Ce sont deux brillants géomètres français, Jean-Victor Poncelet et Charles-Julien Brianchon, qui mettront en évidence le cercle de Feuerbach en 1821. Mais l'histoire de s'est pas arrêtée là et nombreux sont ceux qui, à l'instar d'Olry Terquem, ont découvert que d'autres points remarquables se trouvaient sur ce cercle.
