La retta geometrica
Da Euclide, la retta è la base della geometria. La maggior parte delle figure ne contengono e numerosi teoremi hanno raccolto la sfida di dimostrare che alcuni punti sono allineati; da ciò si deduce l'esistenza di rette notevoli, come quelle di Eulero o di Simson (vedi qui a fianco). Le rette sembrano « guidare » le curve e le superfici. Una curva si assimila localmente alla sua tangente, all'infinito al suo asintoto. Può essere definita da una famiglia di rette che risultano essere tutte tangenti: è l'inviluppo. Trovare rette in una superficie porta a costruirla meglio. Cosa sorprendente, alcune superfici sono addirittura una riunione di rette mentre tutto sembra curvo in esse!
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Euclide: un’introduzione alla retta
Redatti più di duemila anni fa, gli Elementi di Euclide costituiscono un testo fondativo della geometria classica. Il concetto di retta vi occupa un ruolo fondamentale. Andiamo alla scoperta di questo studioso dell’antica Grecia, soffermandoci in particolare sulla sua concezione della retta.
Quelle rette che hanno un nome (2)
Alcune rette hanno un nome e alcuni matematici hanno la loro retta.
Miracolosi teoremi di allineamento!
Un righello, un compasso, una matita ben appuntita ed ecco che l’avventura comincia! A volte la sorpresa è grande quando tre punti si trovano sulla stessa retta. La geometria piana racchiude una folla di teoremi di allineamento, tutti fonte di meraviglia.
Superfici… fatte di rette!
Un piano è generato da rette e si potrebbe pensare che sia l’unica superficie costruibile in questo modo. Eppure è falso! Le superfici generate da rette hanno persino un nome: sono le superfici rigate.
Armoniosi fasci di rette
Come esprimere semplicemente il fatto che più rette siano concorrenti in uno stesso punto? Contrariamente alle apparenze, la geometria pura non è lo strumento più adatto! Introdurre un sistema di riferimento e qualche equazione può rivelarsi più utile.
Inviluppi caustici
Delle rette la cui direzione varia con continuità possono lasciare intuire la curva di cui sarebbero tutte tangenti. Queste curve, inviluppi di famiglie di rette, compaiono in ottica come caustiche. Le loro proprietà generano metodi di costruzione geometrica.
Tangenti e asintoti
Dalla «toccante» di ieri alla tangente di oggi, dalle «quantità evanescenti» agli asintoti, si dipana una lunga epopea matematica. Ecco alcuni episodi gloriosi di questa ricerca geometrica, che consiste nell’«approssimare la curva con una retta».