La droite

Représenter les nombres réels comme les points d'une droite est une idée qui a bouleversé la géométrie autant que l'analyse. Descartes, en repérant les points du plan par deux nombres, y a joué un rôle majeur. Depuis son apport, on sait mettre une droite en équation ! La construction des nombres réels au xixe siècle est l'aboutissement de la transition d'une vision intuitive de la droite à une représentation axiomatique. Cette approche a permis de s'intéresser à la notion de « proximité » des points, de définir un intervalle et plus généralement de se pencher sur la topologie de la droite réelle.

Depuis Euclide, la droite est la base de la géométrie. La plupart des figures en contiennent et de nombreux théorèmes ont relevé le défi de démontrer que certains points sont alignés ; on en déduit l'existence de droites remarquables, comme celles d'Euler ou de Simson (voir ci-contre). Les droites semblent « guider » les courbes et les surfaces. Une courbe s'assimile localement à sa tangente, à l'infini à son asymptote. Elle peut être définie par une famille de droites qui s'avèrent lui être toutes tangentes : c'est l'enveloppe. Trouver des droites dans une surface conduit à mieux la construire. Chose étonnante, certaines surfaces sont même une réunion de droites alors que tout paraît courbe en elles !

Géométrie non euclidienne, géométrie projective : chaque vision nouvelle étend le concept de droite. La notion de « plus court chemin d'un point à un autre » fait entrevoir la notion de géodésique sur une surface, avec des surprises et des problèmes amusants. Et les ordinateurs s'en mêlent pour nous aider à construire des droites !