La droite géométrique
Depuis Euclide, la droite est la base de la géométrie. La plupart des figures en contiennent et de nombreux théorèmes ont relevé le défi de démontrer que certains points sont alignés ; on en déduit l'existence de droites remarquables, comme celles d'Euler ou de Simson (voir ci-contre). Les droites semblent « guider » les courbes et les surfaces. Une courbe s'assimile localement à sa tangente, à l'infini à son asymptote. Elle peut être définie par une famille de droites qui s'avèrent lui être toutes tangentes : c'est l'enveloppe. Trouver des droites dans une surface conduit à mieux la construire. Chose étonnante, certaines surfaces sont même une réunion de droites alors que tout paraît courbe en elles !
Tous les articles de ce dossier
PodcastEuclide : une introduction de la droite
Rédigés il y a plus de deux mille ans, les Éléments d'Euclide constituent un texte fondateur de la géométrie classique. Le concept de droite y est fondamental. Partons à la rencontre de ce savant de l'Antiquité grecque et attardons-nous plus spécialement sur sa conception de la droite.
PodcastCes droites qui ont un nom (2)
Certaines droites ont un nom et certains mathématiciens ont leur droite.
PodcastMiraculeux théorèmes d'alignement !
Une règle, un compas, un crayon bien taillé et c'est déjà l'aventure ! La surprise est parfois grande quand trois points se retrouvent sur une même droite. La géométrie plane recèle une foule de théorèmes d'alignement qui sont tous source d'émerveillement.
Des surfaces… faites de droites !
Un plan est généré par des droites et on pourrait penser qu'il s'agit de la seule surface que l'on peut construire ainsi. Or, c'est faux ! Les surfaces engendrées par des droites portent même un nom : ce sont les surfaces réglées.
PodcastHarmonieux faisceaux de droites
Comment traduire simplement que plusieurs droites sont concourantes en un même point ? Contrairement aux apparences, la géométrie pure n'est pas l'outil le mieux adapté ! Introduire un repère et quelques équations peut s'avérer plus utile.
PodcastDes enveloppes caustiques
Des droites dont la direction varie continûment peuvent laisser deviner la courbe dont elles seraient toutes des tangentes. Ces courbes enveloppées de lignes droites apparaissent comme caustiques en optique. Leurs propriétés génèrent des méthodes de construction géométrique.
Les tangentes et les asymptotes
De la « touchante » d'hier à la tangente d'aujourd'hui, des « quantités évanouissantes » aux asymptotes, il y a une longue épopée mathématique. Voici quelques épisodes glorieux de cette quête géométrique qui consiste à « approcher le courbe par le droit ».