phénomène de Gibbs

Imaginez une courbe qui doit passer brusquement de −1 à +1. Une somme de sinusoïdes ne possède pas d'angle aussi net : près du saut, elle ondule et dépasse les deux paliers.

Ajouter des termes resserre ces ondulations autour de la discontinuité, mais ne fait pas disparaître leur pic. Le dépassement tend vers environ 9 % de la hauteur totale du saut. Ce pic persistant est le phénomène de Gibbs.

Le phénomène de Gibbs apparaît lorsque les sommes partielles d'une série de Fourier approchent une fonction qui présente un saut. Loin du saut, l'approximation se stabilise. Dans une zone de plus en plus étroite autour de la discontinuité, elle conserve cependant des oscillations dont le premier maximum franchit le palier visé.

Notons J la hauteur du saut, c'est-à-dire la différence entre les limites à droite et à gauche. Pour un saut isolé satisfaisant aux hypothèses usuelles de régularité locale du théorème de Gibbs, quand le nombre de termes augmente, le dépassement du premier pic tend vers environ 0,08949 J, soit 8,949 % de J. Pour un saut de −1 à +1, J vaut 2 : le pic limite atteint donc environ 1 + 0,08949 × 2, soit 1,17898. La largeur de la zone oscillante tend vers zéro, mais sa hauteur relative ne tend pas vers zéro.

Au point de saut lui-même, sous les hypothèses usuelles de convergence des séries de Fourier, les sommes partielles convergent vers la moyenne des deux limites latérales. Elles ne convergent donc pas vers l'une des deux valeurs du saut. Cette convergence ponctuelle au milieu du saut n'empêche pas l'absence de convergence uniforme dans tout voisinage contenant la discontinuité. Le nom rappelle Josiah Willard Gibbs, physicien américain également associé à des travaux fondateurs en analyse vectorielle et à des notations du produit scalaire et du produit vectoriel.

Prenons une fonction créneau de période 2π : elle vaut −1 entre −π et 0, puis +1 entre 0 et π. Son saut en 0 a pour hauteur J = 2. Approchons-la avec les cinq premières harmoniques impaires, de rangs 1, 3, 5, 7 et 9.

1. Notons S₅(x) cette somme partielle. Sa valeur au point x est donnée par la somme suivante.

2. Le premier maximum à droite du saut se trouve en x = π/10. La figure compare la fonction créneau et cette somme calculée point par point.

3. En remplaçant x par π/10, on obtient la valeur approchée suivante.

4. Le dépassement au-dessus du palier +1 vaut donc environ 0,182328. Rapporté au saut J = 2, il représente 0,182328/2 × 100 ≈ 9,116 %.

5. Pour contrôler, la symétrie impaire donne S₅(−π/10) ≈ −1,182328 et S₅(0) = 0. Les deux pics ont la même amplitude, de part et d'autre de la valeur moyenne du saut.

Dans une reconstruction par série de Fourier, un pic qui se rapproche d'une rupture sans perdre beaucoup de hauteur signale le phénomène de Gibbs. Il faut alors comparer sa hauteur à celle du saut, et pas seulement augmenter le nombre de termes.

Pour représenter fidèlement une discontinuité, la somme partielle brute convient si l'on veut conserver les coefficients de Fourier tels quels. Si les oscillations visuelles gênent davantage que la perte de netteté, une sommation lissée peut être préférée ; le critère est alors le compromis entre dépassement et transition étalée.

Dans un calcul numérique, il est utile de tracer plusieurs ordres d'approximation. Si la zone ondulée se resserre tandis que le premier pic reste voisin de 9 % du saut, le comportement observé est cohérent avec Gibbs plutôt qu'avec une erreur qui disparaît partout.

Avec une simple erreur de troncature uniforme. Pour une erreur uniforme, l'écart maximal tend vers zéro quand l'ordre augmente. Dans le phénomène de Gibbs, la zone concernée se resserre, mais le dépassement maximal reste voisin de 9 % du saut.

Avec la valeur de la série au point de discontinuité. Pour le créneau de l'exemple, la somme vaut 0 au saut, moyenne de −1 et +1. Le dépassement caractéristique se mesure sur les pics voisins, pas au point x = 0.

Avec le phénomène de Runge. Celui-ci concerne certaines interpolations polynomiales et se reconnaît notamment par de fortes oscillations près des extrémités d'un intervalle. Gibbs concerne ici les sommes partielles de Fourier au voisinage d'un saut.

Le seuil de 9 % porte sur la hauteur du saut. Pour le saut de −1 à +1, la hauteur vaut 2 : le dépassement limite est donc proche de 0,17898 au-dessus de +1, et non de 0,09. Avec seulement cinq harmoniques, l'exemple donne encore environ 0,182328.

Davantage de termes ne supprime pas le pic. Examiner seulement une distance fixe du saut peut faire croire à sa disparition, car la zone oscillante se rétrécit. Il faut suivre le maximum local, dont la position se rapproche de la discontinuité.

La valeur choisie au point du saut ne retire pas le phénomène. Modifier une fonction en un point isolé ne change pas ses coefficients de Fourier. Il faut distinguer cette valeur ponctuelle des limites latérales, qui déterminent la hauteur du saut.

Le comportement n'est pas une divergence partout. Les sommes partielles peuvent converger point par point tout en échouant à converger uniformément autour du saut. Il faut donc préciser le mode de convergence avant de conclure.

Le phénomène de Gibbs relie trois idées : la représentation d'une fonction par des fréquences, le rôle d'un saut et la différence entre convergence ponctuelle et convergence uniforme.

série de Fourier — Revoir comment des coefficients trigonométriques reconstruisent une fonction et comment leurs sommes partielles forment l'approximation.

Discontinuité — Préciser les limites latérales et la hauteur du saut qui gouverne l'amplitude du dépassement.