Fejér Lipót

En 1902, Lipót Fejér consacre sa thèse aux séries de Fourier. Ces séries reconstruisent une fonction en additionnant des oscillations, mais leurs sommes partielles peuvent mal se stabiliser. Fejér propose de moyenner les résultats successifs : les valeurs trop hautes et trop basses se compensent progressivement.

Pour une fonction continue et périodique, cette moyenne converge uniformément vers la fonction : en augmentant le nombre de sommes prises en compte, on peut rendre l'écart petit partout à la fois. C'est le cœur du théorème de Fejér.

Lipót Fejér (1880–1959), né Léopold Weiss, est un mathématicien hongrois spécialiste de l'analyse harmonique. Après des études aux universités de Budapest et de Berlin, où il suit l'enseignement de Hermann Schwarz, il soutient en 1902 une thèse sur les séries de Fourier. Il adopte vers 1900 son nom hongrois.

Pour une fonction continue périodique f, on note S_k(f ; x) la somme partielle de Fourier d'ordre k au point x. La somme de Fejér d'ordre n est la moyenne arithmétique des sommes partielles d'ordres 0 à n :Le théorème de Fejér affirme que ces moyennes convergent uniformément vers f lorsque n tend vers l'infini. La continuité et la périodicité, ou de façon équivalente le travail sur le cercle, sont les hypothèses du cadre ainsi formulé.

Titulaire de la chaire de mathématiques de l'université de Budapest à partir de 1911, Fejér y anime une école dont sont issus John von Neumann, Paul Erdős, Michael Fekete, George Pólya et Pál Turán. Ses travaux portent aussi sur la théorie des polynômes et la théorie du potentiel.

Fixons un point x et supposons que quatre sommes partielles de Fourier y prennent successivement les valeurs 0,8, 1,4, 0,9 et 1,1. Le calcul illustre la moyenne de Fejér ; il ne suffit pas, à lui seul, à prouver une convergence.

Données :
S₀(f ; x) = 0,8 ;
S₁(f ; x) = 1,4 ;
S₂(f ; x) = 0,9 ;
S₃(f ; x) = 1,1.

La somme de Fejér d'ordre 3 est la moyenne de ces quatre valeurs :

1. Additionner les quatre sommes partielles : 0,8 + 1,4 + 0,9 + 1,1 = 4,2.
2. Diviser par leur nombre : 4,2 ÷ 4 = 1,05.
3. Conclure qu'au point x, la somme de Fejér d'ordre 3 vaut 1,05.

Le contrôle est refaisable en comparant l'écart à 1 : les écarts signés −0,2, +0,4, −0,1 et +0,1 ont pour moyenne +0,05, donc 1 + 0,05 = 1,05. Le théorème porte toutefois sur toute la fonction et sur la suite complète des moyennes, pas sur ces quatre valeurs hypothétiques.

Pour stabiliser les approximations de Fourier d'une fonction continue périodique, on calcule plusieurs sommes partielles puis leur moyenne. Si les sommes partielles oscillent, la moyenne de Fejér est l'alternative adaptée : elle atténue leurs variations successives.

Pour lire une affirmation de convergence, on vérifie le mot uniformément. Ici, un même rang permet de contrôler l'écart sur tout le domaine, et non point par point avec un rang qui changerait selon x.

Pour situer Fejér dans l'histoire des mathématiques, on relie le résultat de 1902 à son activité à Budapest à partir de 1911. Le théorème et l'école qu'il anime constituent deux traces distinctes de son influence.

Une somme partielle de Fourier S_n additionne les termes jusqu'à l'ordre n. Une somme de Fejér σ_n moyenne toutes les sommes partielles de S₀ à S_n. Avec les quatre valeurs de l'exemple, S₃ vaut 1,1, tandis que σ₃ vaut 1,05.

La convergence ponctuelle autorise le rang nécessaire à dépendre du point observé. La convergence uniforme utilise un même rang pour tous les points. Le théorème de Fejér donne cette seconde conclusion pour les fonctions continues périodiques.

Lipót Fejér est le mathématicien ; le théorème de Fejér est son résultat sur les moyennes de sommes partielles de Fourier. Une recherche sur la personne appelle aussi les dates, les lieux et son école de Budapest.

Une moyenne finie ne prouve pas la convergence. Le résultat 1,05 de l'exemple décrit seulement l'ordre 3 et un point x. Pour invoquer le théorème, il faut considérer toute la suite des sommes de Fejér d'une fonction continue périodique.

Moyenner ne signifie pas choisir le dernier terme. À l'ordre n, la moyenne contient n + 1 sommes, de l'ordre 0 à l'ordre n. Oublier S₀ ferait diviser une mauvaise somme par un mauvais nombre de termes.

La continuité appartient à l'énoncé donné. Le théorème présenté ici ne doit pas être cité tel quel pour une fonction discontinue. Il faut alors formuler un résultat adapté et préciser le type de convergence visé.

L'ordre des noms varie selon les langues. « Fejér Lipót » suit l'ordre hongrois, avec le nom de famille en premier ; « Lipót Fejér » est la forme courante en français. Les deux désignent la même personne, née Léopold Weiss.

Le glossaire série de Fourier présente l'objet dont Fejér moyenne les sommes partielles.

La fiche analyse harmonique situe le domaine auquel appartient le théorème de Fejér.

Le glossaire Cesàro Ernesto éclaire le nom de la procédure de moyenne employée par Fejér.