Bernstein Sergueï

Imaginez une courbe continue que l’on veut remplacer par un polynôme calculable. Les polynômes de Bernstein fabriquent cette approximation à partir de quelques valeurs de la courbe, prises à des positions régulièrement réparties entre 0 et 1. Chaque valeur reçoit un poids qui dépend de la position observée. Les poids sont positifs et leur somme vaut 1 : le résultat est donc une moyenne pondérée des valeurs connues. En augmentant le nombre de points utilisés, cette construction suit de mieux en mieux la courbe continue.

Pour une fonction f continue sur l’intervalle [0, 1], le polynôme de Bernstein de degré n associe à chaque x de [0, 1] une moyenne pondérée des valeurs f(k/n). Ici, n est un entier positif et k parcourt les entiers de 0 à n. Les poids sont les polynômes de base $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}\backslash binom\{n\}\{k\}x^k(1-x)^\{n-k\}$, où $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\backslash binom\{n\}\{k\}$ est le coefficient binomial. La construction complète s’écrit :

Le résultat est un polynôme en x, même si la fonction de départ n’est pas un polynôme. Les termes f(k/n) sont les données échantillonnées, tandis que les poids indiquent leur influence. Pour une fonction continue sur [0, 1], les polynômes obtenus constituent une approximation constructive, c’est-à-dire une approximation produite explicitement par une formule.

Prenons la fonction f(t)=t² sur [0, 1] et le degré n=3. On observe la courbe aux quatre positions t=0, 1/3, 2/3 et 1, puis on évalue le polynôme construit au point x=1/2.

Les données sont f(0)=0, f(1/3)=1/9, f(2/3)=4/9 et f(1)=1. Les poids de degré 3 au point x=1/2 sont 1/8, 3/8, 3/8 et 1/8.

Le calcul donne :

Le polynôme de Bernstein vaut donc exactement 1/3 au point x=1/2, alors que f(1/2)=1/4. Le contrôle consiste à refaire la moyenne pondérée : les quatre poids totalisent 1 et les quatre contributions totalisent 1/3.

En analyse numérique, cette construction fournit une manière explicite d’approcher une fonction continue par des polynômes. Le geste consiste à choisir un degré, à relever les valeurs de la fonction aux positions k/n, puis à appliquer la moyenne pondérée.

En géométrie computationnelle, les mêmes poids servent à combiner des points ou des valeurs. Cette écriture est particulièrement utile lorsque l’on veut une construction calculable plutôt qu’une existence abstraite.

Pour représenter une courbe avec davantage de fidélité, on augmente le degré ou le nombre de valeurs disponibles. Une interpolation polynomiale classique constitue une alternative lorsque l’objectif est de passer exactement par les données ; le choix dépend donc de la fidélité recherchée et de la forme de la construction.

Les polynômes de Bernstein ne sont pas le théorème d’approximation de Weierstrass. Le critère qui les sépare est leur statut : un polynôme de Bernstein est une construction explicite fondée sur les valeurs f(k/n), tandis que le théorème énonce une possibilité d’approximation par des polynômes. Dans l’exemple de f(t)=t² au degré 3, B₃(f)(1/2)=1/3 est le résultat de la construction ; ce calcul n’est pas l’énoncé général du théorème.

La condition de continuité sur [0, 1] est déterminante pour l’approximation annoncée. Si la fonction présente une discontinuité, la formule produit toujours un polynôme à partir des valeurs disponibles, mais la conclusion d’approximation uniforme ne se transfère pas automatiquement. Il faut alors préciser la notion de convergence et les hypothèses supplémentaires avant d’interpréter le résultat.

Le degré n doit être un entier positif, car les positions k/n et les coefficients binomiaux reposent sur ce choix. Le cas n=0 ne fournit qu’une valeur constante et ne correspond pas à la construction graduée présentée ici. Enfin, un calcul à degré fixé n’est pas une garantie de proximité : dans l’exemple, l’écart exact entre 1/3 et 1/4 vaut 1/12.

Un prolongement naturel consiste à étudier ce qui se passe lorsque le degré n augmente. La formule conserve la même moyenne pondérée, mais les positions k/n deviennent plus nombreuses ; pour une fonction continue sur [0, 1], cette construction relie ainsi une famille de polynômes explicites à l’approximation de la fonction. On peut ensuite comparer la qualité de l’approximation selon le degré et selon la régularité de la fonction, en gardant séparées les valeurs exactes d’un calcul particulier et les conclusions générales.