Cardan et la naissance des nombres imaginaires - Histoire des mathématiques

Lorsqu'on introduit le nombre $ii$, on le fait généralement en le définissant comme un nombre dont le carré vaut $-1-1$, tout en espérant que personne ne s'offusque de la violation de la règle selon laquelle un carré est toujours positif. Le nombre $ii$ est pratique, dit-on, car il permet de donner une solution à l'équation $x^2=-1x^2\; =\; -1$ qui, sans lui, n'en aurait tout simplement aucune. En somme, on ne justifie pas toujours que $ii$ existe, on se contente de dire que cette supposition est bien commode. Mais le simple fait qu'un concept soit arrangeant autorise-t-il à le considérer comme légitime ? C'est là tout le contraire de la stricte rigueur mathématique… et c'est pourtant exactement de cette manière qu'a raisonné Jérôme Cardan (1501-1576), l'inventeur de cette quantité qu'il appelle « sophistiquée ».

L'algèbre aujourd'hui s'apprend à partir de définitions, de méthodes et d'exercices d'application. Rien de tel à la Renaissance, où les choses se passent encore dans une tradition héritée de Diophante : le mathématicien grec dont on ne sait pas exactement quand il a vécu (vers le ${\text{iv}}^{\text{e}}\backslash text\{iv\}^\backslash text\{e\}$ siècle de notre ère ?) propose certes dans ses Arithmétiques quelques rapides définitions, mais il passe aussitôt ensuite à une liste de très nombreux problèmes qu'il résout sans jamais élaborer ni théorie ni méthode générale. Les problèmes sont classés par type, mais c'est la pratique qui permet de développer une sorte d'intuition à adapter à chaque situation. Comme il l'écrit dans l'introduction du Livre IV : « je t'amènerai ainsi à t'y élever degré par degré, et d'une branche à l'autre, pour que ceci devienne une coutume et une habitude. Une fois que tu auras appris ce que j'ai inscrit, tu pourras résoudre de nombreux problèmes que je n'ai pas inscrits, puisque je t'aurai tracé la voie pour trouver la plupart des problèmes et que je t'aurai décrit un exemple de chaque espèce. »