Héron d'Alexandrie

Au Ier siècle, à Alexandrie, Héron travaille vraisemblablement dans l'environnement de la bibliothèque. Mathématicien, ingénieur et physicien grec, il relie les calculs aux machines : éolipyle, automates, poulies, leviers et horloges à eau.

Son nom reste aussi attaché à deux outils. Avec trois longueurs, sa formule donne l'aire du triangle qu'elles forment. Avec une première estimation, sa méthode améliore pas à pas l'approximation d'une racine carrée.

Héron d'Alexandrie est un savant grec du Ier siècle, à la fois mathématicien, ingénieur et physicien. Son activité se déroula vraisemblablement à la bibliothèque d'Alexandrie, mais sa vie demeure largement inconnue. Une partie de ses écrits nous est parvenue grâce à des copies médiévales. Ils couvrent la mécanique, la pneumatique, l'architecture, l'arpentage et l'astronomie, ainsi que l'étude des centres de gravité, des aires et des volumes.

La formule de Héron concerne un triangle dont les côtés ont pour longueurs a, b et c. Le demi-périmètre, noté s, est la moitié de leur somme. L'aire A s'obtient alors par :Les trois longueurs doivent former un triangle ; pour une aire strictement positive, chacune est strictement inférieure à la somme des deux autres.

La méthode de Héron, aussi appelée méthode babylonienne, approche la racine carrée d'un nombre positif N. À partir d'une estimation positive x₀, chaque nouvelle estimation est la moyenne de la précédente et du quotient de N par celle-ci :Par exemple, pour approcher √10 en partant de x₀ = 3, une première itération donne :Cette nouvelle estimation est plus proche de √10 ≈ 3,1623 que la valeur initiale 3. Les Babyloniens connaissaient déjà cette procédure ; Héron en a donné une formulation claire.

Un arpenteur connaît les trois côtés d'un terrain triangulaire, mais pas sa hauteur. Les longueurs sont compatibles avec un triangle ; la formule de Héron permet d'en calculer l'aire.

Données :
premier côté a = 13 unités ;
deuxième côté b = 14 unités ;
troisième côté c = 15 unités.

1. Calculer le périmètre : 13 + 14 + 15 = 42 unités.
2. En prendre la moitié : s = 42 ÷ 2 = 21 unités.
3. Calculer les trois différences : s − a = 8, s − b = 7 et s − c = 6 unités.

4. Remplacer dans la formule :L'aire du terrain vaut exactement 84 unités carrées. La représentation du même triangle peut aussi rendre visible une hauteur de 12 unités relative au côté de 14 unités.

Le contrôle est indépendant : avec une base de 14 unités et une hauteur de 12 unités, la formule base × hauteur ÷ 2 donne 14 × 12 ÷ 2 = 84 unités carrées. Les deux calculs concordent exactement.

En arpentage, la formule de Héron convient lorsqu'on connaît les trois côtés d'une parcelle triangulaire sans disposer de sa hauteur. Si la base et la hauteur sont mesurées directement, leur demi-produit est plus immédiat.

Pour approcher une racine carrée qui ne se lit pas exactement, la méthode de Héron transforme une estimation en une meilleure valeur par itérations. Si le nombre est un carré parfait reconnu, sa racine exacte évite ces approximations.

Dans l'œuvre mécanique attribuée à Héron, poulies et leviers répondent à des problèmes de transmission ou d'amplification d'un effort, tandis que l'éolipyle et les automates rendent visibles des effets pneumatiques. Le dispositif choisi dépend donc de l'effet recherché.

La formule de Héron et la méthode de Héron ne sont pas deux noms du même calcul. La première donne l'aire d'un triangle à partir de ses trois côtés ; la seconde produit des approximations successives d'une racine carrée. Pour le triangle 13–14–15, la formule calcule directement 84 unités carrées.

La méthode de Héron est aussi appelée méthode babylonienne. Cette double appellation ne signifie pas que Héron l'a créée le premier : elle était déjà connue des Babyloniens, et ses écrits en ont conservé une formulation claire.

Trois nombres positifs ne définissent pas toujours un triangle. Avec 13, 14 et 27, les deux premiers côtés ont pour somme 27 : la figure est aplatie et la formule donne une aire nulle. Au-delà de 27 pour le troisième côté, l'expression sous la racine devient négative et ne représente plus une aire réelle de triangle.

La méthode de Héron exige une estimation de départ positive lorsqu'elle vise la racine carrée positive d'un nombre positif. Partir de zéro bloque le quotient N/x₀ ; il faut choisir une valeur initiale strictement positive.

Les détails biographiques ne doivent pas être déduits des machines ou des textes conservés. L'activité à la bibliothèque d'Alexandrie reste vraisemblable, non certaine, et les copies médiévales ne fournissent qu'une conservation partielle des écrits.

L'article L'algorithme de Héron prolonge la méthode d'approximation des racines carrées et permet d'en suivre le mécanisme itératif.

On peut aussi prolonger le calcul du triangle 13–14–15 en étudiant pourquoi sa hauteur vaut 12 unités : cette décomposition relie la formule de Héron au théorème de Pythagore, sans changer les données de départ.