algorithme de la potence

Prenez 1 521 et cherchez sa racine carrée avec un crayon. L'algorithme de la potence range les chiffres par paires, puis construit le résultat un chiffre après l'autre. À chaque étape, une soustraction laisse un reste et prépare le chiffre suivant. Les traits qui séparent le nombre, le résultat et les calculs intermédiaires évoquent une potence. Le même principe de disposition sert aussi à poser une division entière.

L'algorithme de la potence est une procédure écrite de calcul chiffre par chiffre. Une disposition stable sépare la donnée, le résultat en construction et les calculs intermédiaires. Elle permet d'effectuer à la main une division ou d'extraire une racine carrée, cubique, voire d'ordre quelconque. Le nom vient de l'allure des traits qui organisent ces opérations.

Pour une racine carrée écrite en base dix, les chiffres du nombre sont groupés par paires à partir de la virgule. Chaque paire fournit un chiffre de la racine. Si la partie déjà trouvée vaut a et si b est le nouveau chiffre, l'identité suivante détermine ce qu'il faut soustraire : $(10a+b{)}^2=100a^2+(20a+b)b(10a+b)^2=100a^2+(20a+b)b$. On choisit b parmi les chiffres de 0 à 9 de façon que le produit (20a + b)b ne dépasse pas le reste courant.

La version usuelle ne demande que du papier et un crayon. La disposition demeure classique pour la division entière. Les variantes destinées aux racines cubiques ou n-ièmes suivent la même logique positionnelle, mais leurs calculs intermédiaires utilisent le développement de la puissance correspondante et sont plus longs.

Pour extraire une racine carrée en base dix, séparez d'abord les chiffres du nombre en paires à partir de la virgule. Prenez, pour la première paire, le plus grand chiffre dont le carré ne la dépasse pas, puis soustrayez ce carré. Abaissez la paire suivante. Si a est la racine partielle, choisissez le plus grand chiffre b tel que $(20a+b)b(20a+b)b$ ne dépasse pas le nombre obtenu. Ajoutez b à la racine, soustrayez ce produit et recommencez. La procédure s'arrête quand toutes les paires utiles ont été traitées et que la précision voulue est atteinte.

La version décrite ici s'applique à l'écriture décimale d'un nombre réel positif ou nul. Il faut connaître ses chiffres, fixer la position de la virgule et conserver les paires dans leur ordre. Chaque étape doit employer la racine partielle entière déjà obtenue ; le nouveau chiffre est choisi entre 0 et 9, sans faire devenir le reste négatif.

Si le nombre est négatif, l'extraction d'une racine carrée réelle est bloquée : aucun réel élevé au carré ne donne ce nombre. Il faut alors changer de cadre et utiliser les nombres complexes. Pour une racine cubique réelle, en revanche, un nombre négatif possède bien une racine négative, mais la variante cubique de la potence exige d'autres produits intermédiaires.

Cherchons la racine carrée de 1 521. Les données sont le nombre 1 521, son groupement décimal 15 | 21 et les chiffres candidats de 0 à 9.

1. Dans la première paire, 15, le plus grand carré qui convient est 3² = 9. Le premier chiffre de la racine est 3 et le reste vaut 15 − 9 = 6.

2. On abaisse la paire 21 : le nombre courant devient 621. Le double de la racine partielle 3 vaut 6 ; on cherche donc le plus grand chiffre b tel que (60 + b)b ne dépasse pas 621.

3. Le chiffre 9 convient exactement, car $(60+9)\times 9=69\times 9=621(60+9)\backslash times9=69\backslash times9=621$. La racine construite est 39 et le nouveau reste est nul. La disposition graphique rassemble les deux choix et les deux soustractions dans un même tracé.

Le résultat est donc $\sqrt{1521}=39\backslash sqrt\{1521\}=39$. Le contrôle est refaisable par multiplication : ${39}^2=(40-1{)}^2=1600-80+1=152139^2=(40-1)^2=1600-80+1=1521$.

Pour une division entière à la main, la potence ordonne le dividende, le diviseur, le quotient et les restes successifs. Une calculatrice est préférable si seul le résultat importe ; la pose écrite reste utile quand il faut montrer chaque étape et contrôler le reste.

Pour extraire une racine carrée sans instrument, on groupe les chiffres par paires et on prolonge éventuellement l'écriture avec des paires de zéros. La méthode de Héron convient à un calcul par approximations successives depuis une valeur initiale, tandis que la potence livre directement les chiffres décimaux dans leur ordre.

Pour vérifier un carré parfait comme 1 521, le reste nul fournit un premier signal, puis la multiplication 39 × 39 confirme le résultat. Avec un nombre qui n'est pas un carré parfait, on fixe à l'avance le nombre de décimales voulu.

Avec la division euclidienne. La division euclidienne est une opération qui produit un quotient entier et un reste ; la potence est la disposition et la procédure écrite employées pour mener le calcul. Ainsi, 1 521 = 39 × 39 relève d'une égalité arithmétique, tandis que les traits et soustractions successives relèvent de la méthode.

Avec la méthode de Héron. Héron construit une suite d'approximations à partir d'une valeur initiale. La potence extrait au contraire les chiffres dans l'ordre, à partir de groupes de deux chiffres. Pour √1 521, la potence produit successivement 3 puis 9 ; une itération de Héron manipulerait des nombres approchés complets.

Avec un abaque ou une règle à calcul. Ces instruments portent ou matérialisent le calcul sur un support préparé. La potence n'exige qu'une feuille, un crayon et l'organisation des opérations intermédiaires.

Paires mal placées. Pour une racine carrée décimale, les groupes se forment depuis la virgule, vers la gauche et vers la droite. Un décalage d'un chiffre change l'ordre de grandeur du résultat ; il faut refaire le groupement avant tout calcul.

Chiffre candidat trop grand. Si le produit (20a + b)b dépasse le nombre courant, le reste devient négatif. Le chiffre b doit alors être diminué. Dans l'exemple, 9 est le cas charnière : 69 × 9 = 621 exactement.

Développement décimal non terminé. Un reste non nul après la dernière paire ne signifie pas que la méthode a échoué. On peut abaisser des paires 00 et poursuivre ; le résultat obtenu est alors tronqué au nombre de décimales calculées, sauf si un reste finit par devenir nul.

Ordre de la racine. La règle (20a + b)b appartient au cas de la racine carrée. La recopier pour une racine cubique ou n-ième donne des soustractions fausses ; il faut employer le développement de la puissance correspondante.

La fiche Division euclidienne précise le quotient et le reste que la pose en potence permet de calculer.

La fonction racine carrée situe le résultat extrait comme la valeur positive associée à chaque réel positif ou nul.

L'article Les bâtons de Napier présente un autre dispositif historique de calcul manuel et permet de comparer les supports matériels.