AnalyseNotion · Glossaire
point d'inflexion
Pour le graphe d'une fonction, un point d'inflexion est un point intérieur du domaine où la courbe change de sens de courbure (ou de concavité) de part et d'autre. La tangente en ce point, lorsqu'elle existe, est dite tangente inflexionnelle ; sa traversée locale fournit, dans les cas réguliers étudiés ici, un contrôle géométrique distinct. Si la fonction f est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant x₀, l'annulation de f''(x₀) accompagnée d'un changement de signe de f'' en x₀ fournit un critère suffisant d'inflexion. Un point d'inflexion n'est pas nécessairement un extremum de la fonction.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un changement de concavité sur une courbe.
- Tester une inflexion par le signe de la dérivée seconde.
- Calculer la tangente inflexionnelle de x³ − 3x en 0.
- Distinguer un point d’inflexion d’un extremum ou d’un simple zéro de f″.
En clair
Suivez une courbe qui forme d’abord un arc tourné vers le bas, puis un arc tourné vers le haut. L’endroit où elle change ainsi de concavité est un point d’inflexion. Au voisinage de ce point, la courbe passe d’un côté à l’autre de sa tangente.
Ce changement ne signifie pas que la courbe monte puis redescend. Elle peut continuer à descendre tout en changeant sa manière de se courber. Le point d’inflexion décrit donc la forme locale de la courbe, pas nécessairement un sommet ou un creux.
Définition
Un point d’inflexion est un point où une courbe plane change de sens de courbure. Pour le graphe d’une fonction, cela signifie que la courbe passe d’une concavité à l’autre au voisinage de l’abscisse considérée. La tangente en ce point, appelée tangente inflexionnelle, traverse alors localement la courbe.
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant x0, qui est donc un point intérieur de son domaine. Le critère usuel porte sur la dérivée seconde, qui mesure la variation de la pente : et f'' doit changer de signe sur des intervalles ouverts situés de part et d’autre de x0. Si f'' est négative avant x0 et positive après, la courbe passe d’une concavité tournée vers le bas à une concavité tournée vers le haut ; l’ordre inverse convient également.
L’annulation de f'' en un point ne suffit pas à elle seule : le changement de signe est décisif. De plus, un point d’inflexion n’est pas nécessairement un extremum. La dérivée première peut y être non nulle, comme pour la fonction f définie par en x0 = 0.
Un exemple, pas à pas
Étudions la fonction f définie par autour de l’abscisse 0. Les données sont f(0) = 0, la dérivée première f′(x) = 3x² − 3 et la dérivée seconde f″(x) = 6x.
1. En x = 0, la dérivée seconde s’annule : f″(0) = 0.
2. Si x < 0, alors 6x < 0 ; si x > 0, alors 6x > 0. La dérivée seconde change donc de signe en 0.
3. Le point I de coordonnées (0 ; 0) est un point d’inflexion.
2. Si x < 0, alors 6x < 0 ; si x > 0, alors 6x > 0. La dérivée seconde change donc de signe en 0.
3. Le point I de coordonnées (0 ; 0) est un point d’inflexion.
4. La pente en I vaut f′(0) = −3. Comme la tangente passe par l’origine, son équation est .
5. L’écart vertical entre la courbe et cette tangente vaut . Cet écart est négatif à gauche de 0 et positif à droite : la courbe traverse bien sa tangente.
5. L’écart vertical entre la courbe et cette tangente vaut . Cet écart est négatif à gauche de 0 et positif à droite : la courbe traverse bien sa tangente.
Le contrôle distingue enfin inflexion et extremum : f′(0) = −3 n’est pas nul. La fonction continue donc à décroître au passage par I, même si sa concavité change.
En pratique
Pour repérer un point d’inflexion dans une étude de fonction, calculez la dérivée seconde, cherchez ses zéros ainsi que les abscisses où elle n’existe pas, puis établissez son signe de chaque côté lorsqu’elle est définie. Aux points où f″ n’existe pas, étudiez directement le changement de concavité ou la géométrie locale. Un tableau de signes est préférable à la seule résolution de f″(x) = 0, car il montre le changement de concavité attendu.
Sur un graphique, observez si la courbe passe d’une courbure tournée vers le bas à une courbure tournée vers le haut, ou inversement. Le calcul par f″ reste l’alternative fiable dès que le dessin est trop aplati ou l’échelle trompeuse.
Pour contrôler le résultat, écrivez l’équation de la tangente et comparez localement son ordonnée à celle de la courbe. Dans l’exemple f(x) = x³ − 3x, la différence x³ change de signe en 0, ce qui confirme la traversée.
À ne pas confondre
Point d’inflexion et extremum. Un extremum local marque un sommet ou un creux, tandis qu’un point d’inflexion marque un changement de concavité. Pour f(x) = x³ − 3x, le point I d’abscisse 0 est un point d’inflexion, mais f′(0) = −3 montre qu’il n’est pas un extremum.
Point d’inflexion et point stationnaire. Un point stationnaire vérifie f′(x) = 0 ; cette condition concerne la pente, pas la concavité. Dans l’exemple, l’inflexion a lieu en 0 avec une pente égale à −3 : elle n’est donc pas stationnaire.
Limites et pièges
Une dérivée seconde nulle sans inflexion. Pour la fonction g définie par g(x) = x⁴, on a g″(0) = 0, mais g″(x) = 12x² reste positive ou nulle des deux côtés de 0. La concavité ne change pas : il ne faut pas conclure à un point d’inflexion.
Une inflexion sans dérivée seconde définie au point. Le graphe de h(x) = ∛x change de concavité en 0 et traverse sa tangente verticale, mais h″(0) n’existe pas. Le critère f″(x0) = 0 ne s’applique donc qu’avec les hypothèses de dérivabilité annoncées ; il faut revenir à la géométrie locale.
Un dessin presque rectiligne. Près de I, la courbe x³ − 3x peut sembler confondue avec sa tangente y = −3x. Le symptôme vient du petit écart x³. Il faut comparer les signes de cet écart ou ceux de f″, plutôt que juger à l’œil.
Pour aller plus loin
concavité d'une fonction — Pour approfondir les deux formes locales dont l’alternance caractérise une inflexion.
Extremum — Pour distinguer un changement de sens de variation d’un changement de concavité.
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