parabole semi-cubique
Une parabole semi-cubique, également appelée parabole de Neile, est la développée d'une parabole, c'est-à-dire la courbe enveloppe des normales à cette parabole. Pour une parabole d'équation y² = 2px, la parabole semi-cubique associée a pour équation : 27py² − 8(x − p)³ = 0. Il s'agit d'une cubique présentant un point de rebroussement. On attribue à William Neile, en 1657, le premier calcul de la longueur d'un arc de courbe de l'histoire, calcul effectué précisément sur la parabole semi-cubique d'équation y² = x³.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la parabole semi-cubique à l'enveloppe des normales d'une parabole.
- Lire son équation implicite et son paramétrage sans confondre la courbe avec la parabole source.
- Calculer le rebroussement et deux points exacts pour le cas p = 2.
- Contrôler ces points par substitution dans l'équation.
- Repérer le cas dégénéré p = 0 et la non-régularité de la pointe.
En clair
Imaginez toutes les droites perpendiculaires à une parabole. Certaines droites voisines se croisent et dessinent une nouvelle courbe : leur enveloppe. Cette courbe est la parabole semi-cubique, ou parabole de Neile.
Elle possède deux branches qui se rejoignent en une pointe, appelée point de rebroussement. Dans l'exemple y² = 4x, cette pointe est placée en (2, 0).
Définition
La parabole semi-cubique est la développée d'une parabole : elle est l'enveloppe de ses normales, c'est-à-dire des droites perpendiculaires à la courbe. Si p désigne le paramètre non nul de la parabole y² = 2px, sa développée a pour équation : . C'est une courbe algébrique cubique.
Le point (p, 0) est son point de rebroussement. Le paramétrage , où t est un nombre réel, engendre ses deux branches et vérifie l'équation implicite. Le signe de p fixe le sens d'ouverture, tandis qu'un changement d'échelle modifie la taille du tracé sans supprimer le rebroussement.
Le nom de parabole de Neile rappelle William Neile. La source lui attribue, en 1657, le premier calcul historique de la longueur d'un arc de courbe, réalisé sur la forme y² = x³.
De quoi c'est fait
Quatre éléments structurent la courbe. Le paramètre p détermine la parabole de départ y² = 2px. Les normales à cette parabole forment la famille de droites dont l'enveloppe est recherchée. L'équation cubique relie ensuite les coordonnées x et y de chaque point de l'enveloppe. Enfin, le point (p, 0) relie les deux branches en un rebroussement.
Le paramétrage associe à t et −t la même abscisse et des ordonnées opposées : les branches sont donc symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ces relations suffisent à calculer des points exacts et à tracer la courbe. La couleur, l'épaisseur et l'échelle du dessin ne font pas partie de sa définition.
Un exemple, pas à pas
Prenons p = 2. La parabole de départ est y² = 4x. Les données de contrôle sont le rebroussement attendu en (2, 0) et les valeurs t = −1, 0 et 1 du paramétrage.
1. Remplaçons p par 2 dans l'équation de la développée : , soit, après division par 2, .
2. Le paramétrage devient x = 2 + 3t² et y = −2t³. Pour t = 0, il donne le point (2, 0), où les deux branches se rejoignent.
3. Pour t = 1, on obtient (5, −2) ; pour t = −1, on obtient (5, 2). La figure relie ces trois points par les deux branches calculées du même paramétrage.
4. Contrôlons le point (5, 2) dans l'équation : 27 × 2² = 108 et 4 × (5 − 2)³ = 108. Le point (5, −2) convient aussi, car l'ordonnée est au carrée.
En pratique
Comme premier indice, repérez un carré d'un côté et un cube de l'autre, puis localisez le point où les deux s'annulent. Cet indice ne suffit pas à reconnaître la courbe : vérifiez ensuite la forme normalisée, la valeur non nulle du paramètre p et les propriétés de la développée d'une parabole. Si l'équation est seulement du second degré, il faut plutôt examiner une conique.
Pour tracer la développée de y² = 2px, le paramétrage donne directement des couples de coordonnées. Il est préférable à une esquisse à main levée lorsque la position exacte du rebroussement ou la symétrie doivent être contrôlées.
Pour étudier une longueur d'arc, paramétrez d'abord une seule branche et fixez deux valeurs de t. Une lecture directe du graphique ne suffit pas lorsque l'on cherche une longueur exacte, comme dans le calcul historique associé à y² = x³.
À ne pas confondre
Parabole et parabole semi-cubique. La parabole y² = 2px est une conique du second degré ; sa développée 27py² − 8(x − p)³ = 0 est une cubique avec un rebroussement. Pour p = 2, la première passe par (0, 0), tandis que la seconde y possède sa pointe en (2, 0).
Courbe et famille de normales. Une normale est une droite perpendiculaire à la parabole en un point. La parabole semi-cubique n'est pas l'une de ces droites : elle est leur enveloppe, formée par les positions limites de leurs intersections voisines.
Limites et pièges
Paramètre nul. La formule suppose p ≠ 0. Avec p = 0, l'équation de départ devient y² = 0 et ne décrit plus la parabole non dégénérée attendue ; il faut traiter ce cas comme une dégénérescence, pas comme une parabole semi-cubique ordinaire.
Coefficient dépendant de la normalisation. Le facteur 27 correspond exactement à l'écriture y² = 2px de la parabole source. Si la parabole est translatée, tournée ou écrite avec un autre paramètre, commencez par effectuer le changement de coordonnées au lieu de recopier l'équation sans adaptation.
Rebroussement non régulier. Dans le paramétrage, les deux dérivées des coordonnées s'annulent pour t = 0. Une méthode qui exige une tangente régulière en tout point bloque donc à la pointe ; il faut isoler le rebroussement et travailler branche par branche.
Pour aller plus loin
Développée — Replacer l'enveloppe des normales dans la notion générale dont la parabole semi-cubique fournit un exemple calculable.
parabole — Revoir la courbe de départ y² = 2px avant d'étudier l'enveloppe de ses normales.
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