Neile William

En 1657, le mathématicien anglais William Neile parvient à mesurer exactement un arc courbe particulier. Imaginez un fil posé sur la parabole semi-cubique, puis déplié en segment droit : sa longueur est ce que les mathématiciens appellent la rectification de la courbe.

La courbe étudiée vérifie y² = x³ et porte aussi le nom de parabole de Neile. Le calcul de Neile relie ainsi une forme géométrique à une longueur exacte, avant le développement systématique du calcul intégral.

William Neile (1637-1670), parfois orthographié Neil, est un mathématicien anglais. Formé en privé dans plusieurs disciplines, dont les mathématiques, il appartient à une famille de haute tradition anglicane ; son grand-père était archevêque de York. En 1657, Neile obtient la première rectification connue d'une courbe algébrique : il calcule exactement la longueur d'un arc de la parabole semi-cubique, aussi appelée parabole de Neile.

Les coordonnées x et y des points de cette courbe satisfont $x^3=y^{2}x^3=y^2$. Sur sa branche supérieure, un paramètre réel t positif ou nul permet d'écrire $x=t^2,y=t^{3}x=t^2,\backslash \; y=t^3$. Pour un point final correspondant à une valeur T positive ou nulle, la longueur depuis l'origine se ramène alors à une intégrale calculable exactement :

Wallis publie la démonstration en 1659 dans son traité De Cycloïde. Cette réussite fait de Neile un précurseur du calcul intégral. Il pratique aussi l'astronomie observationnelle avec des instruments installés dans la résidence familiale.

On calcule la longueur de la branche supérieure depuis l'origine O jusqu'au point P. Les données sont les suivantes :
la courbe vérifie y² = x³ ;
le paramètre t varie de 0 à T ;
on choisit T = 2/3 ;
le point final a donc pour coordonnées P(4/9 ; 8/27).

1. Paramétrer la branche : $x=t^2,y=t^{3}x=t^2,\backslash \; y=t^3$. Cette écriture vérifie bien y² = x³ pour tout t positif ou nul.

2. Dériver les deux coordonnées par rapport à t, puis former l'élément de longueur :

3. Intégrer entre 0 et 2/3 :

4. La longueur exacte vaut donc (16√2 − 8)/27, soit environ 0,542 unité. Un contrôle indépendant donne pour la corde OP la longueur 4√13/27, soit environ 0,534 unité : l'arc est bien légèrement plus long que le segment reliant ses extrémités.

Dans une histoire des mathématiques, deux dates doivent rester distinctes : Neile réalise la rectification en 1657, tandis que Wallis publie sa démonstration en 1659. Une chronologie qui attribue les deux événements à la même année efface cette différence.

Pour refaire le calcul, on paramètre la branche supérieure par x = t² et y = t³, puis on combine les variations horizontale et verticale par la norme euclidienne ds = √((dx)² + (dy)²). Si l'intégrale obtenue n'a pas de primitive exploitable, une approximation numérique remplace le calcul exact ; ici, une primitive élémentaire existe.

Dans une notice biographique, l'astronomie observationnelle complète le portrait de Neile, mais elle ne prouve pas son résultat géométrique. La preuve à examiner reste celle de la longueur d'arc, publiée par Wallis dans De Cycloïde.

William Neile et William Neil. Dans ce contexte, Neil est une autre orthographe du nom de Neile, et non un second mathématicien. Les dates 1637-1670 et la rectification de 1657 permettent de reconnaître la même personne.

Parabole de Neile et parabole ordinaire. La première est la parabole semi-cubique y² = x³, avec une pointe à l'origine. Une parabole ordinaire peut s'écrire y = x² et possède un sommet lisse : l'équation tranche sans ambiguïté.

Découverte et publication. Neile réalise la rectification ; Wallis en publie la démonstration deux ans plus tard. La présence du nom de Wallis sur De Cycloïde ne transfère donc pas l'attribution du résultat.

Deux branches. L'équation y² = x³ comprend une branche supérieure et une branche inférieure. Le paramétrage x = t², y = t³ parcourt les deux lorsque t est réel ; la condition t ≥ 0 est indispensable lorsqu'on annonce seulement la branche supérieure.

Une pointe singulière. À t = 0, les deux dérivées du paramétrage s'annulent : ce paramétrage n'est pas régulier à l'origine. Il ne faut pas en conclure que l'arc n'a pas de longueur ; on calcule l'intégrale sur l'intervalle fermé, où l'élément de longueur reste continu.

Portée historique précise. La source parle de la première rectification connue d'une courbe algébrique et du premier calcul exact d'une longueur d'arc. Le mot « connue » décrit l'état de la documentation ; il ne prouve pas qu'aucun essai antérieur n'a jamais existé.

Longueur d'un arc, pas aire sous une courbe. Le symptôme de la confusion est une intégrale portant directement sur y. Pour une longueur, il faut combiner les variations de x et de y dans l'élément ds.

Wallis John replace la publication de 1659 dans le parcours du mathématicien qui a transmis la démonstration de Neile.

parabole aide à comparer la parabole ordinaire, lisse à son sommet, avec la parabole semi-cubique et sa pointe.

arc prolonge la lecture vers l'objet géométrique dont Neile a calculé une longueur exacte.