Histoire et cultureNotion · Glossaire
perles de Sluse
Les perles de Sluse sont une famille de courbes algébriques planes dont l'équation cartésienne est de la forme y^n = k(x − a)^p · x^m, avec n entier supérieur ou égal à 1, p et m entiers supérieurs ou égaux à 0, et k et a constantes réelles. Ces conditions garantissent une équation polynomiale en x et y. Cette appellation a été introduite par le mathématicien belge René de Sluse, qui a remarqué que ces courbes, tracées dans un repère approprié, présentent une forme rappelant celle d'une perle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la forme générale de l'équation.
- Calculer des points d'un exemple.
- Comprendre le domaine des points réels et les limites du dessin.
En clair
Imaginez un tracé fermé qui part de l'origine, s'élargit, puis revient sur l'axe horizontal. En changeant les nombres de son équation, on peut déplacer, étirer ou déformer cette silhouette. Une perle de Sluse est précisément une courbe plane obtenue à partir de produits de puissances de x et de x − a.
Dans l'exemple y² = x(2 − x), les points réels se trouvent entre x = 0 et x = 2. Les deux valeurs opposées de y donnent les deux bords d'une boucle, ce qui explique l'apparence de perle dans un repère adapté.
Définition
Une perle de Sluse est une courbe algébrique plane définie implicitement par une relation entre les coordonnées x et y. Dans la forme de référence, n est un entier supérieur ou égal à 1, p et m sont des entiers supérieurs ou égaux à 0, k est un coefficient réel et a est une constante réelle ; ces conditions garantissent une équation polynomiale en x et y. La relation s'écrit
. Les coordonnées x et y désignent les deux axes du repère.
Le mot « famille » est essentiel : modifier k, a ou les exposants peut changer l'ensemble des points qui satisfont la relation, selon les paramètres retenus et hors des cas dégénérés, notamment lorsque k = 0. La source ne fixe pas de domaine particulier pour ces constantes ni de valeurs universelles pour les exposants ; le tracé réel doit donc être étudié pour les paramètres retenus. Si n est pair, une valeur négative du membre de droite ne fournit pas de y réel.
Pour un cas concret, prenons n = 2, p = 1, m = 1, k = −1 et a = 2. La relation devient . Elle impose 0 ≤ x ≤ 2, avec deux ordonnées opposées sauf aux extrémités ; son tracé forme une boucle symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
Un exemple, pas à pas
On étudie la courbe choisie par les données n = 2, p = 1, m = 1, k = −1 et a = 2. La relation est .
Données utiles : x = 0, x = 0,5, x = 1, x = 1,5 et x = 2. Pour chaque abscisse, on cherche les ordonnées réelles y.
1. Pour x = 0, y² = 0(2 − 0) = 0, donc y = 0.
2. Pour x = 0,5, y² = 0,5 × 1,5 = 0,75, donc y ≈ ±0,866.
3. Pour x = 1, y² = 1 × 1 = 1, donc y = ±1.
4. Pour x = 1,5, y² = 1,5 × 0,5 = 0,75, donc y ≈ ±0,866.
5. Pour x = 2, y² = 2 × 0 = 0, donc y = 0.
2. Pour x = 0,5, y² = 0,5 × 1,5 = 0,75, donc y ≈ ±0,866.
3. Pour x = 1, y² = 1 × 1 = 1, donc y = ±1.
4. Pour x = 1,5, y² = 1,5 × 0,5 = 0,75, donc y ≈ ±0,866.
5. Pour x = 2, y² = 2 × 0 = 0, donc y = 0.
Le résultat est une boucle passant par (0, 0), (1, 1), (2, 0) et leurs points symétriques sous l'axe des abscisses. Le contrôle consiste à remplacer chaque couple dans l'équation : pour (1, 1), les deux membres valent 1 ; pour (1, −1), ils valent encore 1.
En pratique
Pour tracer une perle de Sluse, on choisit d'abord les paramètres, puis on teste le signe du membre de droite lorsque l'exposant n est pair. Un tableau de valeurs permet ensuite de placer les points et leurs éventuelles symétries.
Un logiciel de géométrie dynamique est utile pour observer l'effet d'une variation de k ou de a. Il faut conserver le même repère et la même échelle ; sinon une boucle peut sembler plus ronde ou plus allongée qu'elle ne l'est réellement.
Pour vérifier un point calculé, on remplace ses coordonnées dans les deux membres de l'équation. Si les valeurs ne coïncident pas, il faut distinguer une erreur de calcul d'un arrondi de y, comme pour 0,866 au lieu de √3/2.
À ne pas confondre
Une perle de Sluse est une courbe algébrique particulière, tandis qu'une courbe algébrique est la catégorie plus large des courbes définies par une équation polynomiale en x et y. Le critère testable est la forme imposée yn = k(x − a)p · xm, avec n entier supérieur ou égal à 1, p et m entiers supérieurs ou égaux à 0, et k et a réels. Une parabole, par exemple, est algébrique, mais elle n'est une perle de Sluse que si elle peut être décrite par cette forme sous ces conditions.
Limites et pièges
Le tracé n'est pas nécessairement une boucle fermée. La forme de perle observée dépend des paramètres, du domaine réel et du repère choisi. Il faut donc vérifier l'équation et les points réels avant de conclure à une silhouette particulière.
Dans l'exemple y² = x(2 − x), le membre de droite vaut −3 pour x = 3. Comme y² ne peut pas être négatif pour y réel, aucun point réel n'existe à cette abscisse. Le bon réflexe consiste à limiter le tracé aux x tels que x(2 − x) ≥ 0, c'est-à-dire 0 ≤ x ≤ 2.
Les valeurs approchées doivent rester identifiées comme telles. Ainsi, pour x = 0,5, y = ±√0,75 = ±√3/2 ≈ ±0,866 ; écrire y = ±0,866 ferait perdre l'exactitude de la relation.
Pour aller plus loin
La fiche courbe algébrique situe les perles de Sluse dans la classe plus générale des courbes définies par des équations polynomiales.
L'article Tracer les courbes algébriques au XVIIIe siècle : le parallélogramme analytique de Newton et la méthode de Cramer montre comment l'équation et le tracé se sont articulés dans l'histoire de la géométrie analytique.
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