La Hire Philippe de

En 1660, Philippe de La Hire part étudier en Italie. La perspective l'amène ensuite vers la géométrie projective, qui étudie ce que les figures conservent quand le point de vue change.

De retour à Paris, il développe cet héritage de Desargues, mais son activité dépasse la géométrie. Il observe le ciel, participe à la cartographie de la France et travaille sur la mécanique. La droite qui porte son nom illustre cette diversité : un point fixé sur la circonférence d'un petit cercle roulant dans un cercle deux fois plus grand va et vient sur un diamètre, dont l'orientation dépend du point choisi au départ.

Philippe de La Hire (1640-1718) est un mathématicien, physicien et astronome français. Fils d'un artiste et financièrement indépendant, il reçoit une éducation soignée. Il fréquente tôt les milieux scientifiques parisiens, notamment Girard Desargues. Son séjour en Italie, de 1660 à 1664, conduit son travail de la perspective à la géométrie projective. À Paris, il poursuit cette voie avec Abraham Bosse, disciple de Desargues.

Ses publications jalonnent ce programme : les Observations sur les points d'attouchement de trois lignes droites qui touchent la section d'un cône paraissent en 1672, puis la Nouvelle méthode en géométrie pour les sections des superficies coniques et cylindriques en 1673. Les Sectiones conicæ in novem libros distributæ, publiées en 1685, prolongent systématiquement la géométrie projective de Desargues. Son nom reste aussi attaché à des résultats projectifs, à une méthode de construction de carrés magiques et à la droite de La Hire.

Élu en 1678 à l'Académie des sciences, dans la section astronomie, il collabore avec Jean Picard à une carte précise de la France et avec Giovanni-Domenico Cassini à l'Observatoire de Paris. Il contribue à l'alimentation en eau du chantier de Versailles. Nommé en 1682 à la chaire de mathématiques du Collège Royal, il enseigne l'astronomie, la mécanique, l'hydrostatique, l'optique et la navigation. En mécanique, il prolonge les recherches de Huygens sur les engrenages épicycloïdaux.

Prenons la droite de La Hire. Un cercle mobile de rayon 50 roule sans glisser à l'intérieur d'un cercle fixe de rayon 100. Le point P est fixé sur la circonférence du cercle mobile. Au départ, O, C et P sont alignés dans cet ordre : P est le point extérieur, de coordonnées (100, 0). La figure rend visibles le cercle mobile après un angle de 60° et le segment parcouru par P.

1. Notons t l'angle parcouru par le centre C du cercle mobile autour du centre O.
2. Comme le rayon fixe vaut deux fois le rayon mobile, C reste à 50 de O.
3. Le roulement sans glissement fait tourner le rayon CP en sens opposé du même angle t.
4. Les coordonnées verticales de C et de CP s'annulent. Les coordonnées de P sont donc données par $P(t)=(100\cos t,0)P(t)=(100\backslash cos\; t,0)$.

Pour t = 60°, P se trouve exactement à 50 du centre O, sur le diamètre horizontal. Le contrôle se refait aux extrêmes : pour t = 0°, P est à 100 ; pour t = 180°, P est à −100. La trajectoire complète est donc le segment allant de −100 à 100.

Pour situer La Hire dans l'histoire des mathématiques, on relie ses ouvrages de 1672, 1673 et 1685 au programme projectif de Desargues. Une histoire générale de la géométrie conviendra mieux si l'on ne cherche pas cette filiation précise.

Pour étudier un mouvement rectiligne produit par une rotation, la droite de La Hire offre un modèle exact : le rapport des rayons doit être 2 pour 1. Une autre hypocycloïde convient lorsque ce rapport change, mais sa trace n'est plus ce segment.

Pour comprendre son activité scientifique, on ne s'arrête pas à ses travaux géométriques. Ses collaborations en astronomie et en cartographie, son enseignement et ses recherches mécaniques montrent comment les mathématiques du XVII^e siècle circulent entre théorie, observation et technique.

Philippe de La Hire et Girard Desargues. Desargues est le mathématicien rencontré tôt par La Hire et dont celui-ci prolonge la géométrie projective. Les ouvrages de 1672, 1673 et 1685 cités ici sont ceux de La Hire.

Perspective et géométrie projective. La perspective constitue le point de départ de son séjour italien ; la géométrie projective devient ensuite le cadre mathématique de ses recherches. La première décrit ici une origine, la seconde un programme de travail.

La personne et la droite de La Hire. Philippe de La Hire désigne le savant aux activités multiples. La droite de La Hire désigne une trajectoire géométrique particulière associée à son nom.

Un rapport de rayons indispensable. La trace d'un point fixé sur la circonférence se réduit à un segment seulement lorsque le rayon du cercle fixe est exactement le double de celui du cercle mobile. Le point choisi au départ fixe l'orientation de ce diamètre, pas sa nature rectiligne. Si le rapport change, il faut étudier l'hypocycloïde correspondante au lieu de conserver la conclusion rectiligne.

Une « droite » bornée. Le point trace un segment de diamètre, non une droite infinie. Les deux extrémités sont les points de rebroussement de cette hypocycloïde particulière ; prolonger le tracé au-delà du cercle fixe serait une erreur de lecture.

Des dates à ne pas fusionner. L'élection à l'Académie des sciences date de 1678, la chaire du Collège Royal de 1682 et les Sectiones conicæ de 1685. Ces repères décrivent trois événements distincts, pas une seule étape de carrière.

La géométrie projective éclaire le cadre que La Hire développe dans le prolongement de Desargues.

L'hypocycloïde replace la droite de La Hire dans la famille des courbes produites par un cercle roulant à l'intérieur d'un autre.

La fiche Desargues Girard présente le mathématicien dont La Hire poursuit le programme projectif.