table des cordes

Tracez deux rayons depuis le centre d’un cercle : leurs extrémités découpent une corde, c’est-à-dire un segment droit. Quand l’angle entre les rayons s’ouvre, cette corde s’allonge jusqu’à devenir un diamètre.

Une table des cordes rassemble à l’avance ces correspondances entre angles et longueurs pour un même rayon. Elle évite de refaire la construction à chaque calcul : on cherche l’angle, puis on lit la longueur associée.

Une table des cordes est un tableau numérique construit pour un cercle de rayon fixé. À chaque angle au centre, elle associe la longueur du segment joignant les deux points où les côtés de cet angle rencontrent le cercle. Le rayon du cercle est noté R, l’angle au centre est noté θ et la longueur de la corde est notée c. Leur relation est $c=2R\sin (\theta \mathrm{/}2)c=2R\backslash sin(\backslash theta/2)$.

La table n’est donc valable directement que pour le rayon choisi. Pour un autre rayon, toutes les longueurs se multiplient dans la même proportion. Il faut aussi connaître l’unité ou la subdivision employée pour les angles et les longueurs avant de lire une valeur.

Ces tableaux ont précédé l’écriture moderne des fonctions trigonométriques. Les plus anciens connus sont attribués à Hipparque, dont les documents sont perdus. Ils sont connus essentiellement par Ptolémée, qui les a repris, améliorés et employés en astronomie. Les Sulbasutras contiennent aussi des éléments proches des fonctions sinus, mais la première présentation systématique en tables est généralement attribuée à Hipparque.

Dans un texte de mathématiques ou d’astronomie antique, une table des cordes se reconnaît à plusieurs indices : une suite d’angles, une colonne de longueurs correspondantes, un cercle de rayon fixé et des valeurs rangées dans un ordre régulier. Le document peut ne montrer aucun cercle, car la construction géométrique est condensée dans les nombres.

Le support porte une information précise : la distance en ligne droite entre deux points du cercle séparés par un angle au centre donné. Chez Ptolémée, ce type de données sert notamment aux calculs astronomiques hérités et améliorés à partir des travaux attribués à Hipparque.

La grandeur recherchée est la longueur de la corde correspondant à un angle au centre. 1. Relevez d’abord le rayon de référence de la table ainsi que les unités ou subdivisions annoncées. 2. Cherchez la ligne de l’angle voulu. 3. Lisez la longueur associée, puis changez-la proportionnellement si votre cercle a un autre rayon.

Une corde se mesure en ligne droite entre ses extrémités, et non le long du cercle. L’œil peut confondre le segment avec l’arc courbe qui relie les mêmes points ; le bon réflexe consiste à repérer le centre, les deux rayons et le segment intérieur avant de consulter la table.

On cherche la corde interceptée par un angle au centre de 60° dans un cercle de rayon 10 cm. Les données sont donc le rayon R = 10 cm et l’angle θ = 60°. La longueur cherchée est notée c.

1. La moitié de l’angle vaut 60° ÷ 2 = 30°.

2. Le sinus de 30° vaut exactement 1/2.

3. On applique la relation : $c=2\times 10\times \sin ({30}^{\circ })=10c=2\backslash times10\backslash times\backslash sin(30^\backslash circ)=10$. La corde mesure donc exactement 10 cm.

Le contrôle est géométrique : les deux rayons et la corde ont tous trois une longueur de 10 cm. Ils forment donc un triangle équilatéral, dont chaque angle mesure 60°.

Dans les calculs astronomiques antiques, on repère un angle puis on prélève dans la table la corde correspondante. Cette lecture remplace une nouvelle construction géométrique à chaque occurrence.

Pour refaire un calcul historique, la table est préférable à une calculatrice lorsque l’on veut conserver le rayon, les unités et la précision du document étudié. Une valeur moderne du sinus convient mieux si seul le résultat numérique actuel importe.

En géométrie, la relation permet de construire ou de vérifier une corde à partir du rayon et de l’angle au centre. Une mesure directe au compas ou à la règle reste l’alternative lorsque la figure physique, plutôt qu’une valeur théorique, doit être contrôlée.

Corde et arc de cercle. La corde est le segment droit entre deux points du cercle ; l’arc suit la circonférence. Entre les mêmes extrémités, une règle mesure la corde, tandis qu’un fil posé sur le bord mesure l’arc.

Table des cordes et table de sinus. La première donne une longueur dans un cercle de rayon fixé ; la seconde donne le rapport trigonométrique appelé sinus. Pour un angle au centre de 60°, la corde mobilise le sinus du demi-angle, soit 30°.

Table des cordes et théorème des cordes sécantes. Une table associe angles et longueurs. Le théorème compare des produits de segments lorsque deux cordes se coupent dans un cercle ; la présence d’un point d’intersection intérieur tranche immédiatement.

Rayon différent. Une valeur recopiée sans vérifier le rayon est fausse pour le nouveau cercle. Si le rayon double, la corde double aussi ; il faut appliquer le même facteur d’échelle à toute la colonne.

Angles charnières. Pour un angle au centre de 0°, les deux extrémités coïncident et la corde vaut 0. À 180°, la corde devient un diamètre et atteint 2R, sa longueur maximale. Une valeur supérieure à 2R révèle donc une erreur de lecture ou d’unité.

Angle rentrant. Deux angles de mesures θ et 360° − θ déterminent la même paire d’extrémités et la même corde. Il faut vérifier si la table retient l’angle au centre le plus petit ou une autre plage annoncée, au lieu de déduire deux longueurs différentes.

Précision tabulaire. Entre deux lignes, une interpolation produit une approximation, pas une valeur exacte. Le résultat doit conserver une précision compatible avec les pas et les arrondis de la table consultée.

sinus verse — Pour situer une autre fonction issue de la géométrie du cercle dans l’histoire de la trigonométrie.

Nombres complexes et trigonométrie — Pour prolonger la relation entre angles et calculs trigonométriques dans un langage mathématique moderne.