théorème de l'arc capable

Imaginez deux repères fixes B et C. Vous vous déplacez tout en gardant leur écart apparent sous un angle de 60°. Votre trajectoire n’est pas une droite : elle suit un arc de cercle passant par B et C, sans jamais atteindre ces deux points.

Si vous imposez le même angle de l’autre côté de la droite (BC), vous obtenez un second arc, symétrique du premier. Le théorème de l’arc capable transforme ainsi une contrainte d’angle en un lieu géométrique que l’on peut construire.

Soient B et C deux points distincts, et α un angle strictement compris entre 0 et π. Un arc capable de α sur le segment [BC] est l’ensemble des points M, situés d’un côté fixé de la droite (BC), pour lesquels l’angle BMC vaut α. Les extrémités B et C sont exclues, car l’angle BMC n’y est pas défini.

Cet ensemble est un arc du cercle passant par B et C dont le rayon R dépend de la longueur BC : $R=\frac{BC}{2\sin \alpha }R=\backslash frac\{BC\}\{2\backslash sin\backslash alpha\}$. Sans choix de côté et pour un angle non orienté, le lieu complet réunit deux arcs symétriques par rapport à (BC). Sur chacun, tous les points voient la corde [BC] sous le même angle inscrit.

Avec les angles orientés modulo π, la condition sélectionne un cercle entier privé de B et C lorsque α n’est pas congru à 0 modulo π. Lorsque α est congru à 0 modulo π, le lieu dégénère en la droite (BC), toujours privée de B et C.

Si B et C sont distincts, si 0 < α < π et si l’on fixe un côté de la droite (BC), alors les points M tels que l’angle BMC soit égal à α forment un arc de cercle ouvert d’extrémités B et C. Réciproquement, tous les points M de cet arc voient [BC] sous le même angle α. Sans côté fixé, les deux arcs symétriques appartiennent au lieu.

Dans le cadre usuel des angles non orientés, il faut deux points distincts B et C, un angle α vérifiant 0 < α < π, et un choix explicite du côté de (BC) si l’on veut parler d’un seul arc. Ces données déterminent l’arc ; sans choix de côté, elles déterminent les deux composantes symétriques du lieu.

Si B et C coïncident, aucune corde non nulle ne permet la construction. Si α vaut 0 ou π, le cadre ordinaire ne donne pas un arc de cercle : il faut passer aux angles orientés modulo π, où le cas congru à 0 conduit à la droite (BC) privée de B et C.

On cherche l’arc depuis lequel un segment [BC] de 6 cm est vu sous un angle de 60°, dans le demi-plan choisi au-dessus de (BC). Les données sont donc BC = 6 cm et α = 60°. La construction conserve ces mêmes valeurs jusqu’au contrôle final.

1. Le rayon du cercle support est $R=\frac{6}{2\sin {60}^{\circ }}=2\sqrt{3}R=\backslash frac\{6\}\{2\backslash sin\; 60^\backslash circ\}=2\backslash sqrt\{3\}$ cm, soit environ 3,46 cm.
2. Le centre O se place sur la médiatrice de [BC], du côté choisi, à une distance $OI=\frac{6}{2\tan {60}^{\circ }}=\sqrt{3}OI=\backslash frac\{6\}\{2\backslash tan\; 60^\backslash circ\}=\backslash sqrt\{3\}$ cm du milieu I.
3. On trace le cercle de centre O et de rayon 2√3 cm, puis on garde son grand arc situé au-dessus de (BC), sans B ni C.
4. Pour tout point M de cet arc, l’angle au centre BOC mesure 120°. L’angle inscrit BMC intercepte l’arc opposé de 120°, donc il mesure 60°.

Le contrôle est refaisable avec la corde : $2R\sin {60}^{\circ }=2\times 2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=62R\backslash sin\; 60^\backslash circ=2\backslash times2\backslash sqrt\{3\}\backslash times\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}=6$ cm. On retrouve exactement la longueur BC annoncée. Le second arc du lieu s’obtient par symétrie par rapport à (BC).

Dans un problème de construction, deux points B et C et un angle de visée sont imposés. Tracer l’arc capable donne toutes les positions possibles de M d’un côté choisi ; une droite ou un cercle supplémentaire sélectionne ensuite les solutions qui satisfont les autres contraintes.

Dans une preuve de cocyclicité, si deux points M et N voient le même segment [BC] sous le même angle et se trouvent sur la même composante pertinente, le théorème permet de placer B, C, M et N sur un même cercle. Un calcul de coordonnées reste préférable lorsque l’égalité d’angles n’est pas établie.

Pour contrôler une construction, on mesure l’angle BMC en plusieurs points de l’arc. Une mesure approchée doit être comparée à la précision du rapporteur ; la relation exacte avec le rayon fournit un contrôle géométrique plus fiable.

Théorème de l’angle inscrit. Il part d’un cercle déjà donné et affirme que les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux. Le théorème de l’arc capable part au contraire de [BC] et d’un angle fixé pour retrouver le lieu des sommets M.

Angle au centre. Son sommet est le centre O du cercle, tandis que l’angle BMC a son sommet M sur le cercle. Dans l’exemple, l’angle au centre BOC vaut 120° et l’angle inscrit BMC vaut 60° : les confondre double la valeur cherchée.

Un arc ou deux ? Avec un angle non orienté et aucun côté imposé, le symptôme est l’apparition de deux tracés symétriques. Il faut conserver les deux composantes, ou annoncer le demi-plan qui en sélectionne une.

Angle droit. Pour α = 90°, les deux composantes sont les deux demi-cercles de diamètre [BC]. Leur réunion est le cercle de diamètre [BC] privé de B et C ; ce cas charnière ne réduit donc pas le lieu à un seul demi-cercle sans choix de côté.

Extrémités exclues. Un tracé de cercle passe visuellement par B et C, mais l’angle BMC n’y est pas défini. Il faut retirer ces deux points du lieu, même si la construction graphique les montre comme extrémités.

Cas dégénéré orienté. Lorsque α est congru à 0 modulo π, chercher un cercle produit un rayon infini. Dans le cadre des angles orientés, on remplace alors le cercle par la droite (BC) privée de B et C ; pour toute autre classe d’angle, le lieu est un cercle privé de ces deux points.

Théorème de l’angle inscrit — Retrouver pourquoi une même corde est vue sous un angle constant depuis un même arc de cercle.