corde d'un angle

Tracez deux rayons depuis le centre d’un cercle. Leurs extrémités découpent un arc, mais on peut aussi les relier en ligne droite : ce segment est la corde de l’angle formé au centre. Plus l’ouverture grandit de 0° à 180°, plus la corde s’allonge, jusqu’à devenir un diamètre.

Sur un cercle de rayon 1, un angle de 60° donne une corde de longueur 1. Cette longueur se lit avec le sinus de la moitié de l’angle.

Dans un cercle, deux points A et B déterminent une corde : le segment [AB]. Si le centre O voit ce segment sous un angle central α compris entre 0 et 180°, la corde de l’angle α est sa longueur rapportée à un cercle de rayon 1. Le symbole crd désigne cette fonction.

La relation avec le sinus est :La moitié intervient parce que la médiatrice de [AB] partage le triangle isocèle OAB en deux triangles rectangles. Dans chacun, la demi-corde est le sinus de α/2 lorsque le rayon vaut 1.

Pour un cercle de rayon R positif, la longueur de la corde n’est plus crd(α) elle-même, mais $AB=2R\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)AB=2R\backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\backslash right)$. Les tables antiques reliaient ainsi une ouverture angulaire à une longueur pour un rayon fixé. En Inde, la table d’Âryabhata, à la fin du Ve siècle, marque la transition vers le sinus ; Brahmagupta formalisa ensuite cette notion au VIIe siècle.

La construction réunit cinq éléments : un cercle, son centre O, deux rayons [OA] et [OB], l’angle central α qu’ils forment, et le segment [AB]. Les points A et B sont sur le cercle ; leur distance au centre est donc le même rayon R. Leurs positions fixent à la fois l’arc sous-tendu et la corde qui relie directement ses extrémités.

La longueur AB dépend de l’ouverture α et de l’échelle R : doubler le rayon double la corde, tandis que conserver le rayon et modifier l’angle change sa longueur selon le sinus de α/2. La couleur, l’orientation du dessin ou la position du cercle sur la page ne définissent rien. Le rayon et l’angle suffisent à construire la figure et à calculer AB.

On cherche la corde découpée par un angle central de 60° dans un cercle de rayon 1 unité.
Données : R = 1 unité ; α = 60° ; A et B sont les extrémités des deux rayons.

1. On partage l’angle par deux : α/2 = 30°.
2. Le sinus de 30° vaut exactement 1/2.
3. On applique la relation $AB=2R\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)AB=2R\backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\backslash right)$.
4. Le calcul donne $AB=2\times 1\times \frac{1}{2}=1AB=2\backslash times1\backslash times\backslash frac\{1\}\{2\}=1$.

La corde mesure donc exactement 1 unité. Le schéma fait apparaître que les deux rayons et la corde ont tous la même longueur : le triangle OAB est équilatéral. Cette propriété fournit un contrôle indépendant du calcul.

Dans une table de cordes, on part d’un arc ou de son angle au centre, puis on lit la longueur du segment correspondant pour le rayon choisi. C’était le geste de calcul des astronomes et géomètres grecs.

Pour exploiter aujourd’hui une valeur donnée par une ancienne table, il faut d’abord vérifier son rayon de référence. Si ce rayon n’est pas 1, on divise la longueur par R avant de la comparer à crd(α).

Pour un calcul moderne, le sinus est généralement l’entrée directe : on prend la moitié de l’angle, on calcule son sinus, puis on multiplie par deux fois le rayon. La corde reste utile lorsque la donnée cherchée est la distance droite entre deux points du cercle, plutôt que la longueur de l’arc.

La corde et l’arc. La corde est le segment droit [AB], tandis que l’arc suit le cercle entre A et B. Pour un angle de 60° sur le cercle unité, la corde mesure 1 unité ; elle ne se mesure donc pas comme le trajet courbe.

La corde et le sinus. La corde de α n’est généralement pas sin(α). Elle vaut deux fois le sinus du demi-angle : crd(60°) = 2 sin(30°) = 1, alors que sin(60°) n’a pas cette valeur.

Rayon implicite. La formule crd(α) = 2 sin(α/2) suppose un cercle de rayon 1. Si le cercle a pour rayon R, l’oubli du facteur R produit une longueur à la mauvaise échelle ; il faut employer AB = 2R sin(α/2).

Angle nul et angle plat. Pour α = 0°, les deux extrémités coïncident et la corde vaut 0. Pour α = 180°, elles sont opposées et la corde atteint 2R : c’est un diamètre. Ces deux cas bornent la croissance sur l’intervalle de 0° à 180°.

Arc majeur. Lorsque 0° < α < 180°, les mêmes extrémités déterminent un petit arc et un grand arc. Les angles α et 360° − α conduisent à la même longueur de corde ; une corde seule ne permet donc pas de choisir entre ces deux arcs.

Unité angulaire. Une table ou une calculatrice doit interpréter l’angle dans l’unité annoncée. Saisir 60 en mode radians ne calcule pas la corde d’un angle de 60° ; il faut régler l’unité ou convertir l’angle avant d’appliquer le sinus.

Le cercle trigonométrique permet de situer le sinus qui intervient dans la formule de la corde et de relier angle, rayon et coordonnées.

L’article Nombres complexes et trigonométrie prolonge l’étude des angles par une autre représentation, adaptée aux calculs trigonométriques.