table de Ptolémée

Imaginez un cercle et deux points posés sur son bord. L'arc suit le bord entre ces points, tandis que la corde les relie en ligne droite. Une table de Ptolémée associe à la mesure de l'arc la longueur de cette corde. Il suffit alors de chercher un angle dans la première colonne pour lire une longueur dans la deuxième. Si l'angle tombe entre deux lignes, la troisième colonne aide à estimer la valeur intermédiaire.

Une table de Ptolémée est un tableau de correspondance entre la mesure d'un arc de cercle et la longueur de la corde qui relie ses extrémités. Dans la table décrite par la source, les arcs vont de 30° à 180° par pas de 1/2°. La première colonne contient la mesure de l'arc, la deuxième la corde correspondante et la troisième les éléments utiles à l'interpolation entre deux lignes.

La longueur lue dépend nécessairement de l'échelle du cercle. Si le rayon du cercle est noté R, l'angle au centre correspondant à l'arc est noté θ et la longueur de la corde est notée c, leur relation moderne s'écrit $c=2R\sin (\theta \mathrm{/}2)c=2R\backslash sin(\backslash theta/2)$. Cette écriture permet de vérifier le mécanisme géométrique d'une table sans lui attribuer une convention de rayon que la définition source ne précise pas.

Ptolémée reprit et développa des tables attribuées à Hipparque. Il les employa abondamment dans ses travaux d'astronomie : le tableau transformait ainsi une donnée angulaire en longueur exploitable, y compris lorsque l'angle n'était pas exactement tabulé.

On reconnaît ce support à sa succession de lignes numériques et à trois repères. La première colonne avance régulièrement de 30° à 180°, par demi-degré. La deuxième porte des longueurs de cordes associées aux arcs. La troisième ne fournit pas une nouvelle corde : elle donne de quoi traiter un angle situé entre deux lignes. L'ensemble appartient au contexte de l'astronomie antique et met en regard une mesure angulaire et une longueur dans un cercle.

La grandeur recherchée est la longueur de la corde associée à un arc. 1. Repérez la mesure de l'arc dans la première colonne. 2. Si cette mesure est tabulée, lisez sur la même ligne la longueur donnée par la deuxième colonne. 3. Si elle tombe entre deux demi-degrés, encadrez-la par les deux lignes voisines. 4. Utilisez alors les éléments de la troisième colonne pour interpoler.

Deux conventions doivent rester visibles : l'angle est exprimé en degrés et la longueur dépend du rayon choisi pour le cercle. L'œil peut confondre l'arc courbe avec la corde droite ; le bon réflexe consiste à identifier les deux extrémités communes, puis à lire la distance rectiligne qui les joint.

Prenons un cercle de rayon 1 pour illustrer le principe, sans reproduire une échelle historique. Les données sont les suivantes : un arc de 60° donne une corde de longueur 1 ; un arc de 60,5° donne une corde d'environ 1,007548 ; l'angle recherché est 60,25°, exactement à mi-chemin. La figure matérialise l'arc, son angle au centre et la corde à estimer.

1. L'écart entre les deux longueurs tabulées vaut environ 1,007548 − 1 = 0,007548.
2. Comme 60,25° est au milieu de l'intervalle, on prend la moitié de cet écart : 0,007548 ÷ 2 = 0,003774.
3. On l'ajoute à la première longueur : 1 + 0,003774 = 1,003774.

L'interpolation donne donc une corde d'environ 1,003774. Un contrôle moderne par la relation exacte donne, pour 60,25°, environ 1,003776. L'écart est d'environ 0,000002 : il rappelle que l'interpolation fournit ici une approximation, et non la valeur exacte.

Dans les travaux astronomiques de Ptolémée, une mesure angulaire pouvait être convertie en longueur de corde par lecture du tableau. Lorsque l'angle figurait dans la première colonne, la corde se lisait directement sur la même ligne.

Lorsque l'angle se trouvait entre deux demi-degrés, la lecture directe ne suffisait plus. Les éléments de la troisième colonne devenaient alors préférables : ils permettaient d'interpoler entre les deux cordes voisines au lieu de choisir arbitrairement l'une d'elles.

Pour vérifier aujourd'hui une lecture, on peut comparer le résultat à la relation entre corde, rayon et angle au centre. Cette vérification exige de conserver le même rayon ; changer d'échelle change toutes les longueurs, mais pas les angles.

La corde et l'arc. Ils ont les mêmes extrémités, mais l'arc suit le cercle tandis que la corde est le segment droit. Dans une ligne de la table, l'angle mesure l'arc et la deuxième colonne donne la longueur de la corde.

Une valeur tabulée et une valeur interpolée. La première est inscrite pour un multiple de 1/2° ; la seconde est calculée entre deux lignes. Pour 60,5°, on lit une ligne, tandis que pour 60,25°, on doit interpoler.

Hors de l'intervalle. La table décrite couvre les arcs de 30° à 180°. Une mesure inférieure à 30° ou supérieure à 180° n'est donc pas encadrée par ses lignes ; il faut une autre relation ou un autre tableau.

Rayon non identifié. Une longueur de corde isolée ne suffit pas à retrouver la ligne correspondante, car un changement de rayon multiplie les longueurs. Il faut d'abord connaître l'échelle du cercle employé.

Interpolation prise pour une égalité exacte. Entre deux pas de 1/2°, le résultat intermédiaire dépend des éléments d'interpolation et de la précision des valeurs disponibles. Dans l'exemple, 1,003774 est une approximation ; le contrôle donne environ 1,003776.

La fiche table des cordes prolonge l'étude du nom générique du dispositif et aide à replacer la table de Ptolémée dans cette famille de calculs.