spirale parabolique

Imaginez un point qui tourne autour d’une origine tandis que son rayon orienté varie. Selon la branche suivie, ce rayon augmente ou diminue comme une racine carrée de l’angle, après un éventuel décalage : le point peut s’éloigner de l’origine, s’en rapprocher ou la traverser. La courbe tracée par le point forme une spirale parabolique.

Pour un même angle, l’équation peut donner deux distances orientées. Ces deux possibilités forment les deux branches de la relation ; elles se rejoignent lorsque l’angle vaut zéro.

Une spirale parabolique est une courbe plane décrite en coordonnées polaires. Le rayon polaire ρ mesure une distance orientée depuis l’origine, et θ est ici un paramètre angulaire réel continu, déroulé et non réduit modulo 2π, qui repère la direction. Deux paramètres constants, a et b, règlent la courbe. La relation complète est $(\rho -a{)}^2=b^2\theta (\backslash rho-a)^2=b^2\backslash theta$.

Pour des paramètres réels avec b non nul, l’équation impose θ ≥ 0. À un angle positif donné correspondent en général deux rayons orientés, $\rho =a+b\sqrt{\theta }\backslash rho=a+b\backslash sqrt\{\backslash theta\}$ et $\rho =a-b\sqrt{\theta }\backslash rho=a-b\backslash sqrt\{\backslash theta\}$. Le signe de b échange simplement ces deux écritures, car l’équation ne dépend que de b². Si b vaut zéro, la relation dégénère en ρ = a et ne détermine plus θ.

Lorsque a vaut zéro, les rayons satisfont ρ² = b²θ. En choisissant la branche ρ = b√θ avec b positif, on obtient la spirale de Fermat mentionnée dans la définition historique. Une valeur négative de ρ représente le même point qu’une valeur positive prise dans la direction opposée ; cette convention compte pour interpréter la seconde branche.

Prenons une spirale parabolique avec les paramètres a = 2 et b = 1. Les données sont l’équation (ρ − 2)² = θ et trois angles sans unité imposée : θ = 0, θ = 1 et θ = 4.

1. Isolez le rayon orienté : $\rho =2\pm \sqrt{\theta }\backslash rho=2\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash theta\}$.
2. Pour θ = 0, les deux calculs donnent ρ = 2 : les branches se rejoignent.
3. Pour θ = 1, on obtient ρ = 3 ou ρ = 1.
4. Pour θ = 4, on obtient ρ = 4 ou ρ = 0 : la branche intérieure atteint exactement l’origine.

Le contrôle consiste à remettre chaque résultat dans (ρ − 2)² = θ. Par exemple, pour θ = 4, les deux vérifications donnent (4 − 2)² = 4 et (0 − 2)² = 4. La figure matérialise ces deux branches entre θ = 0 et θ = 4.

Pour tracer la courbe, on choisit d’abord a et b, puis une suite d’angles θ ≥ 0. À chaque angle, on calcule les deux valeurs de ρ avant de convertir les coordonnées polaires en points du plan.

Pour vérifier qu’un point polaire appartient à la courbe, on compare (ρ − a)² et b²θ. L’égalité doit être exacte pour des données exactes, ou compatible avec la précision annoncée si les valeurs sont arrondies.

Si le but est seulement de décrire une spirale sans fixer la relation entre rayon et angle, le terme général « spirale » suffit. L’appellation « spirale parabolique » est pertinente lorsque l’équation quadratique entre ρ − a et θ est effectivement satisfaite.

Une spirale quelconque. Le mot « spirale » décrit une famille de courbes, tandis que la spirale parabolique impose (ρ − a)² = b²θ. Une courbe enroulée qui ne vérifie pas cette égalité n’est donc pas une spirale parabolique.

Les coordonnées polaires. Elles constituent un système pour repérer des points par un rayon et un angle, pas une courbe particulière. La spirale parabolique est l’une des courbes que ce système permet de décrire.

Angle négatif. Avec des paramètres réels et b non nul, le membre (ρ − a)² ne peut pas être négatif. Une valeur θ < 0 ne fournit donc aucun rayon réel ; il faut restreindre le tracé à θ ≥ 0.

Branche oubliée. Extraire une racine carrée produit deux signes. Pour a = 2 et b = 1, l’angle θ = 1 donne ρ = 3 mais aussi ρ = 1. Ne conserver qu’un signe décrit une branche, pas toute la relation.

Passage par l’origine. Dans l’exemple, la branche intérieure atteint ρ = 0 au seuil θ = 4. Au-delà, son rayon orienté devient négatif ; il faut appliquer la convention polaire de direction opposée plutôt que lire cette valeur comme une distance ordinaire négative.

Paramètre b nul. Si b = 0, l’équation devient (ρ − a)² = 0. Elle fixe ρ = a pour tout angle autorisé et ne conserve pas le mécanisme de croissance en racine carrée d’une spirale parabolique non dégénérée.

Coordonnées polaires — Pour consolider la lecture d’un point décrit par un rayon orienté et un angle.

Spirale — Pour replacer la spirale parabolique dans la famille plus générale des courbes qui s’enroulent autour d’un point.

L’intérêt des coordonnées polaires — Pour voir pourquoi ce repérage convient naturellement aux courbes définies par une rotation et un rayon.