spirale sinusoïdale

Imaginez un point qui tourne autour d’un centre tandis que sa distance à ce centre varie avec l’angle. Une spirale sinusoïdale décrit précisément cette trajectoire : l’angle commande une valeur de distance par l’intermédiaire d’un cosinus. Selon le paramètre n, la courbe peut former des lobes qui se rejoignent au centre, comme la lemniscate à deux pôles obtenue avec n = 2. Le même cadre rassemble donc des formes très différentes, au lieu de définir une seule spirale visuelle.

En coordonnées polaires, une spirale sinusoïdale est une courbe dont la distance ρ à l’origine et l’angle θ vérifient la relation suivante. Dans le cadre réel retenu ici, on prend a > 0 et n réel non nul ; ρ est une distance polaire non négative lorsque n > 0, tandis que ρ > 0 lorsque n < 0, afin que les puissances soient définies:

La valeur de ρ donne ici la distance non négative à l’origine, tandis que θ repère la direction. Le choix de n commande la symétrie et, dans les cas entiers et pour un domaine d’angles et une convention de tracé précisés, le nombre de branches représentées. Dans le sous-cas entier positif, avec les conventions de domaine indiquées, la caractérisation retenue par la source décrit la courbe comme une lemniscate à n pôles, également rattachée à la famille des cassiniennes à n pôles : elle se décrit alors par une moyenne géométrique de distances aux sommets d’un polygone régulier. Dans le sous-cas entier négatif, la caractérisation fournie par la source porte sur une moyenne constante d’angles, et la courbe est un cas particulier de stelloïde. Ces caractérisations géométriques ne s’étendent donc pas automatiquement à tout n réel.

Prenons a = 1 et n = 2. La relation devient :

Pour θ = 0, le cosinus vaut 1, donc ρ² = 2 et ρ = √2, en retenant la distance positive. Pour θ = π/4, cos(π/2) = 0 : la courbe passe par l’origine. Pour θ = −π/4, on obtient également ρ = 0. Entre ces deux directions, ρ est réel et dessine un lobe ; l’intervalle symétrique autour de π fournit le second lobe. La courbe obtenue est donc une lemniscate à deux pôles, avec deux branches qui se rencontrent à l’origine.

Dans le repère représenté, la figure utilise exactement ces valeurs : a = 1, n = 2, ρ = √2 pour θ = 0 et ρ = 0 pour θ = ±π/4. Elle montre comment la variation imposée par le cosinus produit les deux lobes.

Pour reconnaître ou tracer une spirale sinusoïdale, on commence par relever le paramètre n et l’échelle a dans l’équation polaire. Dans le cadre réel retenu, si n > 0 et que ρ = 0 est admissible, les angles où cos(nθ) s’annule donnent les passages par l’origine. Pour n < 0, ρ = 0 n’est pas admissible et ces angles ne constituent donc pas des points de la courbe. Lorsque n > 0, les angles où le cosinus vaut 1 indiquent des distances maximales de référence, ici ρ = √2 pour a = 1 et n = 2. Un tracé par points permet enfin de vérifier la symétrie annoncée, sans confondre la courbe avec une spirale dont le rayon augmenterait régulièrement.

Une spirale sinusoïdale n’est pas synonyme de spirale logarithmique. Dans la première, la distance polaire est liée au cosinus d’un multiple de l’angle ; dans la seconde, elle varie selon une loi exponentielle de l’angle. Elle ne se confond pas non plus avec une cassinienne quelconque : dans le sous-cas où n est entier positif, avec les conventions de domaine de la définition, elle en constitue seulement un cas particulier, caractérisé par une moyenne géométrique de distances aux sommets d’un polygone régulier. Selon la caractérisation de la source, le terme « lemniscate à n pôles » désigne ce sous-cas entier positif, tandis que le sous-cas entier négatif relève de la famille des stelloïdes.

Le mot « spirale » ne garantit pas une branche qui s’éloigne continûment de l’origine. Avec n = 2, la relation impose au contraire des zéros de ρ et produit une courbe à deux lobes. Plus généralement, le tracé dépend du domaine d’angles choisi et de la convention sur une distance polaire orientée ; écrire seulement une racine peut masquer d’autres représentations polaires du même point. Le paramètre a règle l’échelle, mais la formulation de la source suppose qu’il soit compatible avec la puissance aⁿ ; les cas a = 0 ou les puissances réelles ne se traitent donc pas sans préciser la convention de définition. Enfin, les caractérisations géométriques par distances et par angles ne s’appliquent pas indistinctement : la première est attachée aux entiers positifs, la seconde aux entiers négatifs.

La famille est intéressante parce qu’une même équation relie trois points de vue. La formule polaire décrit le tracé par l’angle et la distance ; pour n entier positif, la moyenne géométrique des distances vers un polygone régulier donne une lecture métrique ; pour n entier négatif, une moyenne d’angles vers les sommets donne une lecture directionnelle. Étudier comment la symétrie change lorsque n varie permet ainsi de passer d’une courbe particulière, comme la lemniscate à deux pôles, à une famille complète de courbes. Les noms de Maclaurin et de Haton de la Goupillière rappellent enfin que cette classification est aussi une construction historique, étudiée en 1718 et dénommée en 1857.