Reuleaux Franz

Entre 1850 et 1852, Franz Reuleaux étudie la mécanique à Karlsruhe. Il travaille ensuite à Cologne, Zürich et Berlin, au contact direct de la construction des machines et de son enseignement.

Son nom relie ainsi deux mondes : la théorie des mécanismes et une géométrie faite pour le mouvement. Le triangle qui porte son nom n'est pas un triangle aux côtés droits : son contour courbe garde la même largeur quelle que soit son orientation.

Franz Reuleaux (1829–1905) est un ingénieur allemand et un théoricien des mécanismes. Après sa formation à l'Institut polytechnique de Karlsruhe, de 1850 à 1852, il devient ingénieur consultant à Cologne. Il occupe ensuite la chaire de mécanique appliquée au Polytechnikum de Zürich, puis dirige le Gewerbeinstitut de Berlin.

Ses ouvrages Construktionslehre für den Maschinenbau, Le Constructeur et Theoretische Kinematik ont durablement compté dans la théorie des machines. Dans les années 1880, Reuleaux participe aussi à l'élaboration d'une loi unifiée sur les brevets. Ses récits de voyages et ses traductions de poèmes témoignent d'une activité qui ne se limite pas à l'ingénierie.

En géométrie, son nom reste attaché au triangle et au tétraèdre de Reuleaux. Une figure plane est dite de largeur constante lorsque la distance entre deux droites parallèles qui l'encadrent reste la même dans toute direction. Le triangle de Reuleaux possède exactement cette propriété. Le tétraèdre de Reuleaux en est un analogue spatial, mais il n'est pas lui-même de largeur constante au sens strict.

Construisons un triangle de Reuleaux à partir d'un triangle équilatéral de côté 6 cm. Les trois sommets sont nommés A, B et C. Chaque arc du contour relie deux sommets et a pour centre le troisième sommet.

Données : AB = BC = CA = 6 cm ; chaque arc a un rayon de 6 cm. La figure associée montre les trois sommets et les trois arcs obtenus.

1. Avec A pour centre et 6 cm pour rayon, tracer l'arc qui relie B à C.
2. Avec B pour centre et le même rayon, tracer l'arc qui relie C à A.
3. Avec C pour centre et le même rayon, tracer l'arc qui relie A à B.
4. Conserver les trois petits arcs qui bordent la région commune.

Le contour obtenu a une largeur de 6 cm dans toute direction. Pour le contrôler dans la direction horizontale de la figure, les deux droites verticales d'appui passent par B et C : leur distance vaut BC = 6 cm. Plus généralement, dans chaque direction, une droite d'appui passe par un sommet et la droite d'appui parallèle est tangente à l'arc opposé, dont le cercle est centré sur ce sommet. La distance entre ces deux droites est donc le rayon du cercle, soit 6 cm.

Pour reconnaître un triangle de Reuleaux, on ne se fie pas seulement à sa silhouette arrondie. On vérifie que ses trois arcs ont le même rayon et que chacun est centré sur le sommet opposé. Un simple triangle aux coins arrondis ne satisfait pas forcément ce critère.

Pour étudier un mouvement mécanique, la largeur constante fournit une propriété géométrique vérifiable : deux appuis parallèles restent séparés par la même distance lorsque la figure tourne. Si la distance change avec l'orientation, il faut décrire le profil par ses largeurs variables plutôt que comme une figure de largeur constante.

Pour situer l'œuvre de Reuleaux, on peut suivre le fil qui va de la construction des machines à leur théorie, puis à la cinématique. Ses ouvrages donnent la trace écrite de ce passage entre pratique d'ingénieur et étude structurée des mécanismes.

Le triangle de Reuleaux ne se confond pas avec le triangle équilatéral qui sert à le construire. Le premier est bordé par trois arcs de cercle ; le second, par trois segments. Dans l'exemple, les deux ont la même valeur caractéristique de 6 cm, mais leurs contours sont différents.

La théorie des mécanismes ne se réduit pas à la géométrie d'une seule figure. Le triangle à largeur constante illustre le lien entre forme et mouvement, tandis que les ouvrages de Reuleaux portent plus largement sur la théorie des machines.

Une largeur constante ne signifie pas que tous les rayons mesurés depuis un centre sont égaux. Le triangle de Reuleaux n'est pas un disque : son contour possède trois sommets observables. Pour tester la propriété correcte, il faut mesurer la distance entre deux droites d'appui parallèles, puis changer leur direction.

Un dessin approximatif peut rompre la largeur constante. Dans l'exemple, les trois rayons doivent valoir exactement 6 cm et les trois centres doivent être A, B et C. Si un arc a un autre rayon, l'apparence reste proche mais le contrôle par des appuis parallèles échoue dans certaines directions.

L'expression « tétraèdre de largeur constante » constitue un piège. Le tétraèdre de Reuleaux prolonge la construction dans l'espace, mais sa largeur dépend de la direction. Il faut donc le présenter comme un analogue spatial lié aux corps de largeur constante, et non lui attribuer sans réserve la propriété exacte du triangle.

Le glossaire triangle de Reuleaux approfondit la construction par arcs et la propriété de largeur constante.

L'entrée cinématique replace l'étude du mouvement dans le domaine auquel Reuleaux a consacré une partie essentielle de ses travaux.

L'article La géométrie des courbes ouvre sur un cadre plus large pour étudier des contours au-delà des figures polygonales.