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triangle de Reuleaux
Le triangle de Reuleaux est la région commune à trois disques de même rayon, centrés aux sommets d'un triangle équilatéral dont le côté égale ce rayon. Son bord, formé de trois arcs de cercle, est une courbe de largeur constante : la distance entre deux droites d'appui parallèles ne dépend pas de leur direction. Cette propriété lui permet de tourner entre deux droites parallèles en maintenant leur écart, principe utile dans certains mécanismes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire la figure à partir d'un triangle équilatéral et de trois arcs de même rayon.
- Interpréter et contrôler sa largeur constante avec deux tangentes parallèles.
- Distinguer le triangle de Reuleaux d'un triangle équilatéral, d'un disque et d'un triangle curviligne quelconque.
- Relier sa géométrie à l'aire minimale et au perçage mécanique de trous carrés.
En clair
Imaginez une pièce arrondie que l'on serre entre deux règles parallèles. Quand on fait tourner un triangle de Reuleaux entre ces règles, leur écart reste inchangé. La figure n'est pourtant pas un disque : elle possède trois pointes reliées par trois arcs de cercle.
On l'obtient en partant d'un triangle équilatéral. Chaque sommet sert tour à tour de centre pour tracer l'arc qui joint les deux autres sommets. Le côté du triangle fixe à la fois le rayon des arcs et la largeur constante de la figure.
Définition
Un triangle de Reuleaux est une figure plane convexe délimitée par trois arcs de cercle. Sa construction part d'un triangle équilatéral dont la longueur du côté est notée c. Chacun des trois arcs est l'arc mineur de 60° qui a pour centre un sommet, pour rayon c et pour extrémités les deux autres sommets ; il se situe du côté opposé au sommet-centre. La figure obtenue est l'intersection des trois disques de rayon c centrés aux sommets.
Sa propriété caractéristique est la largeur constante. Pour une direction choisie, on encadre la figure par deux tangentes parallèles perpendiculaires à cette direction. La distance entre ces tangentes vaut toujours c, même lorsque leur orientation change. Cette égalité porte sur des droites d'appui parallèles, et non sur toutes les distances entre deux points du bord.
À largeur fixée, le triangle de Reuleaux possède l'aire minimale parmi les corps convexes plans de largeur constante. Ce résultat est associé aux démonstrations indépendantes d'Henri Lebesgue et de Wilhelm Blaschke. La figure sert aussi en mécanique et en cinématique, notamment dans des mécanismes destinés au perçage de trous approximativement carrés, aux coins arrondis.
De quoi c'est fait
La construction repose sur quatre éléments liés. Le triangle équilatéral fournit trois sommets et une unique longueur de côté. Les trois sommets deviennent les centres des cercles. Les trois arcs, tous de rayon égal au côté, relient chaque paire de sommets. Enfin, la zone commune aux trois disques constitue l'intérieur de la figure.
Le rayon dépend donc du côté choisi, tandis que les extrémités de chaque arc dépendent des deux autres sommets. Ces contraintes suffisent à fixer la forme et sa largeur. Une rotation, un déplacement, une couleur ou un changement d'échelle ne modifie pas sa nature ; l'échelle change seulement toutes les longueurs dans la même proportion.
Un exemple, pas à pas
Construisons un triangle de Reuleaux de largeur 6 cm. Les données sont un triangle équilatéral ABC et la longueur commune AB = BC = CA = 6 cm. Un compas ouvert à 6 cm suffit pour les trois tracés.
1. Centrez le compas en A, puis tracez l'arc de B à C.
2. Sans changer l'ouverture, centrez-le en B et tracez l'arc de C à A.
3. Centrez-le enfin en C et tracez l'arc de A à B.
4. Conservez la région commune située à l'intérieur des trois disques.
2. Sans changer l'ouverture, centrez-le en B et tracez l'arc de C à A.
3. Centrez-le enfin en C et tracez l'arc de A à B.
4. Conservez la région commune située à l'intérieur des trois disques.
Le contour fermé obtenu a une largeur de 6 cm. Pour contrôler la construction, placez deux droites d'appui parallèles de part et d'autre de la figure, mesurez leur écart, puis recommencez après avoir changé leur orientation. Dans le tracé exact, chaque mesure vaut 6 cm ; sur un dessin matériel, les écarts doivent rester compatibles avec la précision du compas et de la règle.
En pratique
Pour dessiner la figure, on préfère le compas à un tracé à main levée : conserver exactement la même ouverture pour les trois arcs garantit leur rayon commun. Le triangle équilatéral de départ fournit les centres et les extrémités.
Pour vérifier la largeur constante, on utilise deux droites parallèles tangentes au contour, puis on répète la mesure dans plusieurs directions. Mesurer seulement les trois distances entre sommets ne suffit pas, car la propriété concerne toutes les orientations.
En mécanique, un mécanisme adapté exploite ce contour pour le perçage de trous approximativement carrés, généralement à coins arrondis. Un foret circulaire ordinaire reste le choix approprié pour un trou rond ; le triangle de Reuleaux intervient lorsque la trajectoire et le guidage doivent produire cette forme quasi carrée.
À ne pas confondre
Avec un triangle équilatéral. Le triangle équilatéral a trois côtés droits ; le triangle de Reuleaux a trois arcs de cercle. Un segment joignant deux sommets tranche immédiatement : il appartient au premier contour, tandis que le second contour se bombe vers l'extérieur.
Avec un disque. Les deux figures ont une largeur constante, mais le disque est bordé par un seul cercle et ne présente aucune pointe. Le triangle de Reuleaux possède trois centres de courbure situés à ses sommets.
Avec un triangle curviligne quelconque. Trois arcs formant un contour fermé ne suffisent pas. Dans un triangle de Reuleaux, chaque arc est centré au sommet opposé et son rayon égale le côté du triangle équilatéral initial ; ce critère permet de trancher.
Limites et pièges
Un rayon modifié détruit la propriété. Si l'un des trois arcs n'a pas pour rayon le côté du triangle équilatéral, le contour peut encore sembler régulier. Le symptôme apparaît lorsque l'écart entre deux tangentes parallèles varie avec leur orientation. Il faut reprendre les trois arcs avec une même ouverture de compas.
Largeur constante ne signifie pas distance constante entre tous les points. La valeur fixe concerne la distance entre deux tangentes parallèles opposées. Pour une construction de côté 6 cm, cette largeur vaut 6 cm dans chaque direction, mais des paires quelconques de points du bord peuvent être plus proches.
Le perçage exige un mécanisme. La propriété géométrique du contour ne transforme pas, à elle seule, un foret ordinaire en outil pour trou carré. Il faut employer un dispositif de guidage cinématique conçu pour exploiter le mouvement du triangle de Reuleaux ; le trou obtenu est quasi carré, avec des coins arrondis, et non un carré géométrique exact.
Pour aller plus loin
Le prolongement naturel consiste à étudier l'ensemble des corps convexes plans de largeur constante. La largeur commune ne fixe pas l'aire : parmi tous ceux qui partagent une même largeur, le triangle de Reuleaux réalise l'aire minimale. Les démonstrations indépendantes d'Henri Lebesgue et de Wilhelm Blaschke ouvrent ainsi une question d'optimisation géométrique : comparer des formes soumises à une même contrainte de largeur.
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