GéométrieNotion · Glossaire
pavage en polyamants
Un polyamant est une figure plane formée d'un nombre fini de triangles équilatéraux d'un même réseau, reliés par des côtés entiers de sorte que tout triangle soit accessible depuis n'importe quel autre. Un pavage en polyamants couvre exactement une figure donnée, ou le plan, avec des pièces de formes fixées, sans trou ni chevauchement ; il s'agit notamment de déterminer si une pièce permet cette couverture et de le démontrer.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier un polyamant par ses triangles et sa connexité par côtés.
- Vérifier sur un exemple que trois diamants couvrent exactement un hexagone.
- Distinguer l'égalité des aires d'une preuve complète de pavage.
- Repérer le rôle des conventions de rotation et de réflexion dans le dénombrement.
En clair
Imaginez une feuille quadrillée par de petits triangles équilatéraux. Découpez-en plusieurs, puis assemblez-les bord contre bord sans laisser de morceau isolé : la silhouette obtenue est un polyamant. Deux triangles accolés donnent un diamant.
Un pavage en polyamants transforme ces silhouettes en pièces de puzzle. Il faut couvrir exactement une figure imposée, sans trou ni chevauchement. La difficulté vient autant de la forme des pièces que de leurs rotations et de leurs retournements autorisés.
Définition
Un polyamant est un assemblage fini de triangles équilatéraux d'un même réseau triangulaire. L'assemblage est connexe par les côtés : de chaque triangle, on peut atteindre tout autre triangle en passant de l'un au suivant par un côté entier commun. Un simple contact par un sommet ne suffit donc pas. Le nombre de triangles constituants est appelé l'ordre du polyamant. Le diamant mentionné dans la définition source est d'ordre 2.
Paver une région avec une collection de polyamants signifie en recouvrir toute la surface, sans trou et sans superposition. Les pièces restent entières. Elles peuvent être déplacées et tournées ; la possibilité de les retourner doit être précisée par la règle du puzzle. La région cible peut être une figure finie ou le plan entier.
Avec six triangles, la source compte 12 formes distinctes. Un tel dénombrement dépend de la convention choisie pour identifier les formes obtenues par rotation ou réflexion. Cette convention doit être fixée avant de compter ou de comparer deux collections.
Un exemple, pas à pas
On veut construire un hexagone avec trois diamants. Données : chaque diamant contient 2 triangles équilatéraux ; les trois diamants utilisent donc 6 triangles du même réseau ; les pièces peuvent être tournées ; aucun triangle ne peut se chevaucher.
1. Placez un premier diamant, puis tournez les deux autres de façon que leurs angles obtus se rejoignent au même sommet central.
2. Comptez les cellules couvertes : 3 × 2 = 6 triangles. Ce total égale le nombre de triangles de l'hexagone cible.
3. Suivez le contour extérieur. Il possède six côtés de même longueur et ne borde aucun espace vide ; les intérieurs des trois diamants restent disjoints.
Le pavage est donc exact : les trois diamants couvrent l'hexagone. La figure associée rend visibles les six triangles et leur regroupement par deux. Pour refaire le contrôle, recomptez les six cellules, puis vérifiez chaque jonction bord contre bord.
En pratique
Dans un puzzle fini, commencez par comparer l'aire de la cible à la somme des triangles des pièces. Si les totaux diffèrent, aucun placement ne peut réussir ; s'ils coïncident, la recherche reste nécessaire.
Pour chercher un assemblage, placez d'abord les pièces dont les angles correspondent aux coins les plus contraints. Préférez un autre placement dès qu'un trou restant ne peut plus être découpé en triangles entiers du réseau.
Pour étudier un pavage du plan, un motif fini dont la répétition couvre exactement tout le plan, sans lacune ni chevauchement, fournit une preuve directe d'existence. En l'absence d'un tel motif, il faut soit construire autrement le pavage, soit établir une obstruction valable pour tous les placements.
À ne pas confondre
Un polyamant est une pièce ; un pavage en polyamants est une couverture réalisée avec une ou plusieurs de ces pièces. Une silhouette de six triangles connexe par côtés entiers communs peut donc être un polyamant sans constituer, à elle seule, le pavage d'une cible donnée.
Une simple juxtaposition de pièces n'est pas forcément un pavage de la cible. Le critère testable est la couverture exacte : le moindre trou ou chevauchement invalide le pavage, même si le contour général paraît correct.
Limites et pièges
Deux groupes de triangles qui se touchent seulement en un sommet ne forment pas un polyamant connexe par les côtés. Le symptôme est qu'aucun côté entier ne relie les groupes ; il faut ajouter une cellule de liaison ou traiter deux pièces séparées.
L'égalité des aires est nécessaire, mais elle ne prouve pas qu'un pavage existe. Dans l'exemple, 3 × 2 = 6 triangles confirme seulement le bon total ; le contrôle du contour, des trous et des chevauchements demeure indispensable.
Le nombre de formes distinctes peut changer avec la convention sur les symétries. Avant d'utiliser le total de 12 polyamants à six triangles donné par la source, il faut préciser si une pièce retournée est identifiée à la pièce initiale.
Réussir à couvrir une figure finie ne démontre pas automatiquement qu'une pièce pave le plan entier. Il faut exhiber un motif répétable sans lacune, ou donner un autre argument qui s'applique à toute l'étendue du plan.
Pour aller plus loin
La fiche polyamant approfondit la pièce élémentaire elle-même et aide à distinguer sa construction de la question du pavage.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres