hexatriangle

Imaginez six triangles équilatéraux découpés dans un même gabarit. En les poussant les uns contre les autres, côté contre côté, vous obtenez une seule figure plane : un hexatriangle. Chaque pièce garde la même taille et les côtés en contact coïncident entièrement.

La forme extérieure peut changer selon l’assemblage. Pourtant, deux dessins ne comptent pas comme deux hexatriangles si l’un s’obtient en tournant ou en retournant l’autre. Cette règle laisse exactement 12 formes distinctes.

Un hexatriangle est un assemblage connexe de six triangles équilatéraux congruents, c’est-à-dire de même forme et de même dimension, dont les contacts se font bord à bord. « Connexe » signifie que l’on peut passer d’un triangle à un autre par une suite de côtés communs, sans saut entre deux pièces.

Le comptage distingue les assemblages à partir de leur forme, et non de leur orientation sur la feuille. Une rotation ou une symétrie conserve donc la même figure. Avec cette convention, il existe exactement 12 hexatriangles distincts. Une translation ne change pas non plus la forme, car elle déplace seulement l’ensemble.

Le mot hexamino désigne par analogie un assemblage de six carrés, tandis qu’un hexatriangle est construit avec six triangles équilatéraux. L’analogie porte sur le nombre de pièces et la démarche combinatoire, pas sur la forme des pièces. Ces assemblages peuvent être étudiés pour leurs pavages, leurs symétries et leurs propriétés de géométrie plane.

Considérons six triangles équilatéraux de côté 1 assemblés autour d’un sommet central, deux triangles voisins partageant un côté. Les données sont les suivantes : six pièces, côté 1 et aire d’un triangle équilatéral égale à √3/4.

L’aire d’un triangle équilatéral de côté 1 vaut √3/4.

Les six pièces ont la même aire, donc l’aire de l’hexatriangle vaut $A=6\times \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}A=6\backslash times\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}=\backslash frac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$.

Le résultat est exact : l’unité d’aire est le carré de l’unité choisie pour le côté. En valeur décimale, cette aire est environ 2,598. Un contrôle consiste à découper mentalement la figure selon ses six triangles et à additionner six fois √3/4.

Dans une activité de pavage, les hexatriangles servent de pièces à placer bord à bord pour recouvrir une région sans trou ni chevauchement. On choisit un assemblage plutôt qu’un autre en observant les angles et les contours disponibles autour de la zone à couvrir.

Dans un exercice de combinatoire, on dessine les assemblages possibles puis on élimine les doublons obtenus par rotation ou symétrie. Cette méthode permet de vérifier le décompte des 12 formes sans compter plusieurs fois un même dessin orienté différemment.

En géométrie plane, on peut calculer l’aire d’un hexatriangle en additionnant les aires de ses six pièces. Cette approche est préférable à une formule de polygone extérieur lorsque les triangles sont déjà identifiés.

Un hexatriangle ne doit pas être confondu avec un hexamino. Le premier assemble six triangles équilatéraux, alors que le second assemble six carrés. Le cas qui tranche est la forme d’une pièce élémentaire : trois côtés égaux et trois angles égaux pour le triangle, quatre côtés égaux et quatre angles droits pour le carré.

Il ne faut pas non plus confondre le nombre de pièces avec le nombre de formes. Six triangles peuvent être disposés de nombreuses manières, mais les rotations et les symétries sont regroupées dans le décompte : elles ne produisent pas une nouvelle forme parmi les 12.

Le décompte de 12 dépend de la convention annoncée : deux figures liées par rotation ou symétrie sont identifiées. Si l’orientation compte, une même forme peut apparaître sous plusieurs dessins, et le nombre obtenu n’est plus celui des 12 formes non orientées.

Un contact réduit à un seul sommet ne suffit pas pour un assemblage bord à bord. Le symptôme est une jonction sans côté commun ; il faut alors écarter cette construction du modèle ou préciser que l’on étudie un autre type de contact.

Les six triangles doivent être équilatéraux et congruents, donc de même taille, dans le plan et assemblés sans chevauchement. Un triangle d’une autre forme, une pièce d’une autre taille ou un chevauchement modifie l’objet étudié. Le côté 1 et l’aire de l’union égale à 3√3/2 concernent seulement l’exemple guidé.

Le cas des hexatriangles ouvre sur une question générale : comment énumérer des assemblages de pièces en identifiant ceux qui ne diffèrent que par une transformation du plan ? Cette perspective relie la géométrie des figures à la combinatoire des formes, puis aux problèmes de pavage.

On peut prolonger l’étude en comparant les contours des 12 formes, leurs symétries propres et les régions qu’elles permettent de recouvrir. Ces questions demandent de distinguer soigneusement une transformation qui conserve une figure d’une nouvelle disposition réellement différente.