Petits L

Imaginez trois carrés de même taille collés bord à bord : deux se suivent dans une direction et le troisième prolonge l'un d'eux. Leur contour forme un petit L, que l'on peut tourner ou retourner sans changer sa nature. Quatre de ces pièces permettent de recouvrir un L deux fois plus grand dans chaque direction : les carrés restent alignés, sans trou ni chevauchement.

Cette capacité de se réassembler en une copie agrandie relie le Petit L aux reptiles, aussi appelés rep-tiles. Le mot joue sur « repeat » et « tile » : la figure se répète par pavage. L'exemple à quatre pièces est le cas concret à retenir pour comprendre cette autosimilarité.

Un Petit L est un polyomino formé de trois carrés unitaires, c'est-à-dire trois carrés identiques assemblés par leurs côtés. Il a donc une aire de 3 unités carrées et son contour présente un angle rentrant. Les rotations et les symétries ne produisent pas une nouvelle pièce : elles changent seulement son orientation.

La pièce est un reptile lorsqu'un nombre entier k≥2 de copies congruentes de cette pièce pave une figure semblable à la pièce. Si k copies sont utilisées, l'aire de la grande figure vaut k fois l'aire d'une pièce. Une figure semblable dont les longueurs sont multipliées par un facteur s a une aire multipliée par s² ; la relation exacte est donc $k=s^{2}k=s^2$. Pour quatre Petits L, le facteur linéaire est 2, car $4=2^{2}4=2^2$.

Dans cette construction, les carrés unitaires doivent rester alignés sur une même grille, chaque carré de la grande figure appartient à une seule pièce et l'ensemble ne laisse aucun trou. Le nombre de copies et le facteur d'agrandissement sont liés par l'aire ; ils ne sont donc pas interchangeables.

Considérons quatre Petits L identiques, chacun composé de trois carrés unitaires. On veut les assembler en un L dont chaque longueur est deux fois celle du Petit L.

Données : chaque pièce contient 3 carrés ; le nombre de pièces est 4 ; le facteur d'agrandissement visé est 2.

L'aire d'une pièce vaut 3 unités carrées.
La surface disponible vaut 4 × 3 = 12 unités carrées.
Le grand L est obtenu dans une grille de 4 × 4 carrés, à laquelle on retire un carré 2 × 2 ; son aire vaut 16 − 4 = 12 unités carrées.
Les quatre pièces recouvrent donc exactement la même aire, sans chevauchement.

Le contrôle est indépendant du dessin : l'agrandissement par 2 multiplie l'aire par 2² = 4, et quatre copies multiplient l'aire par 4. Le pavage est ainsi compatible avec la similitude annoncée.

Avec des carrés découpés dans du papier quadrillé, on peut fabriquer un Petit L puis en préparer quatre exemplaires. On les tourne et on les déplace jusqu'à remplir le grand contour en L ; le quadrillage permet de repérer immédiatement un trou ou un chevauchement.

Pour vérifier une solution, on compte d'abord les carrés plutôt que de se fier au seul contour. Quatre pièces apportent 12 carrés, ce qui correspond à l'aire du L de côté 4 privé du carré 2 × 2. Si le compte ne correspond pas, il faut modifier l'assemblage.

Un logiciel de géométrie dynamique peut aider à essayer des orientations, mais un dessin sur grille est préférable pour contrôler les carrés réellement couverts. L'alternative dépend du critère : exploration rapide d'un côté, vérification exacte de l'autre.

Un Petit L ne doit pas être confondu avec n'importe quelle pièce en forme de L. Le critère testable est la composition : le Petit L contient exactement trois carrés identiques, tandis qu'un L de cinq carrés, par exemple, est une autre figure. Comptez les carrés avant de parler de la même pièce.

Il ne faut pas non plus confondre un pavage par copies avec une simple ressemblance de contour. Un assemblage est un pavage seulement si chaque point de la grande figure est couvert une fois, sans trou ni recouvrement. Quatre Petits L qui dessinent vaguement un grand L sans respecter ce critère ne constituent pas un reptile.

Le nombre de copies n'est pas le facteur d'agrandissement. Avec k copies, l'aire impose un facteur linéaire s tel que k = s². Ainsi, quatre copies correspondent à s = 2 ; écrire que quatre copies produisent une figure quatre fois plus longue serait une erreur de lecture.

Un contour en L peut sembler correct alors que les pièces se recouvrent ou laissent un trou. Le symptôme observable est un carré de la grille utilisé deux fois ou absent. Il faut alors vérifier chaque carré, et non seulement le périmètre.

La propriété concerne des copies congruentes, donc de même forme et de même taille avant l'assemblage. Des pièces déformées, des carrés de tailles différentes ou un assemblage qui change la forme cible ne suffisent pas à établir la propriété de reptile.

Le cas des quatre Petits L illustre une idée générale d'autosimilarité : une figure peut être reconstruite à partir de copies plus petites d'elle-même. En géométrie, le comptage des aires fournit d'abord le facteur d'échelle ; la recherche d'un pavage doit ensuite vérifier la forme, les frontières et l'absence de trous. Cette démarche relie la géométrie récréative aux figures autosimilaires, sans supposer que toute figure possède une telle décomposition.