GéométrieNotion · Glossaire
pavage autosimilaire
Un pavage est autosimilaire s'il existe une dilatation commune, de centre fixé et de facteur λ > 1, telle que chaque tuile dilatée soit exactement la réunion de tuiles du même pavage, sans trou ni chevauchement. Cette règle fait réapparaître la structure à des échelles successives et relie l'organisation locale à l'organisation globale, ce qui permet notamment de modéliser certaines structures quasi-cristallines et certains phénomènes fractals.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la relation exacte entre une tuile dilatée et les tuiles du pavage.
- Vérifier le facteur 2 sur une grille carrée par les coordonnées et les aires.
- Distinguer autosimilarité, périodicité et simple ressemblance visuelle.
En clair
Imaginez une feuille quadrillée. Une case agrandie deux fois dans chaque direction couvre exactement un carré de quatre cases, disposées en deux lignes et deux colonnes. Le même regroupement recommence si l'on double encore la taille.
Un pavage est autosimilaire lorsqu'un agrandissement fixé transforme ainsi chaque tuile en un assemblage exact de tuiles du même pavage. Le dessin ne se contente pas de se ressembler : les bords doivent coïncider et la zone agrandie doit être entièrement recouverte.
Définition
Un pavage autosimilaire est un recouvrement par des tuiles qui reste compatible avec une dilatation déterminée. On note X l'ensemble pavé, I l'ensemble des indices des tuiles et Fi la tuile portant l'indice i. Leur réunion forme X. Le nombre λ est la constante d'expansion ; pour une véritable dilatation, λ est supérieur à 1.
Pour chaque indice i, il doit exister un sous-ensemble Ji de I tel que la tuile dilatée soit exactement la réunion des tuiles dont les indices appartiennent à Ji :
Cette égalité porte sur les ensembles géométriques : elle exige le recouvrement complet de la tuile agrandie, avec des frontières compatibles.
En répétant la même règle, on retrouve la structure aux facteurs λ, λ2, λ3, et ainsi de suite. La formule ne garantit pas une invariance pour tout facteur réel. Cette organisation par échelles fournit notamment des modèles pour certaines structures quasi-cristallines et pour des phénomènes fractals.
Un exemple, pas à pas
Prenons le pavage du plan par les carrés de côté 1 dont les sommets ont des coordonnées entières. Les données sont une tuile F de côté 1, une dilatation centrée à l'origine et une constante d'expansion λ = 2. La tuile choisie a pour sommets (0, 0), (1, 0), (1, 1) et (0, 1).
1. La dilatation multiplie chaque coordonnée par 2. Les sommets deviennent (0, 0), (2, 0), (2, 2) et (0, 2).
2. Le carré obtenu a un côté de longueur 2. On le découpe suivant les droites de coordonnées x = 1 et y = 1.
3. Le découpage produit 2 × 2 = 4 carrés de côté 1. Ce sont exactement quatre tuiles de la grille initiale, sans vide ni dépassement.
4. Le contrôle par les aires confirme le recouvrement : l'aire agrandie vaut 22 = 4, tandis que les quatre petites tuiles ont une aire totale de 4 × 1 = 4. La relation d'autosimilarité est donc vérifiée pour cette tuile et se reproduit sur toute la grille.
En pratique
Pour tester un pavage, on choisit une tuile, on fixe le centre et le facteur de dilatation, puis on compare ses bords agrandis avec ceux des tuiles présentes. Une simple ressemblance visuelle ne suffit pas : le recouvrement doit être exact.
Pour construire une représentation à plusieurs échelles, on applique plusieurs fois la même règle de regroupement. Une description par translations convient mieux si le motif ne fait que se répéter à taille constante ; l'autosimilarité devient utile lorsque la dilatation organise réellement le pavage.
Dans un modèle de structure quasi-cristalline ou de phénomène fractal, la règle d'expansion sert à relier les détails locaux à l'organisation globale. Si aucune réunion exacte de tuiles n'apparaît après dilatation, il faut employer un autre modèle plutôt que conclure à l'autosimilarité.
À ne pas confondre
Pavage périodique. La périodicité compare un pavage avec sa translation, tandis que l'autosimilarité compare des échelles par dilatation. La grille carrée est à la fois périodique et autosimilaire pour λ = 2, mais la vérification d'une propriété ne prouve pas l'autre.
Tuile autosimilaire. Une forme isolée peut contenir des copies réduites d'elle-même sans définir un pavage autosimilaire. Le critère porte ici sur le pavage entier : chaque tuile dilatée doit être une réunion exacte de tuiles déjà indexées dans ce pavage.
Limites et pièges
Toutes les échelles ne signifie pas tous les facteurs. La règle formelle fournit d'abord les facteurs λ, λ2, λ3, etc. Sur la grille carrée avec λ = 2, un facteur 3/2 ne suit pas le découpage en carrés unités. Il faut itérer le facteur certifié, sans supposer une invariance continue.
Le centre de dilatation compte. Écrire λ · Fi suppose une convention géométrique commune. Si chaque tuile est agrandie autour de son propre centre, les tuiles obtenues ne sont plus celles de la même transformation globale. Il faut annoncer le centre ou l'origine avant de comparer les ensembles.
Une ressemblance approchée ne suffit pas. Des bords décalés, un vide ou un chevauchement visible contredisent l'égalité d'ensembles. Il faut contrôler les frontières et le recouvrement, puis identifier précisément les indices de Ji.
Le facteur 1 est dégénéré. Avec λ = 1, une tuile peut seulement se retrouver elle-même et l'égalité n'exprime aucun changement d'échelle. Pour parler d'une constante d'expansion et d'une organisation multiscalaire, on retient λ > 1.
Pour aller plus loin
Le pavage de Penrose offre un pavage particulier à mettre en regard de la définition abstraite et de sa règle de changement d'échelle.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres