reptuile

Imaginez un demi-triangle équilatéral découpé en trois petits triangles. Les trois morceaux ont exactement la même forme et la même taille. Chacun reproduit aussi la silhouette du grand triangle, mais à une échelle réduite. Le grand polygone est alors un reptuile d’ordre 3.

La découpe doit remplir toute la figure, sans trou ni chevauchement. Tourner ou retourner un morceau ne change pas sa forme géométrique.

Un reptuile, également écrit rep-tuile, est un polygone qui est la réunion de plusieurs pièces sans trou ni chevauchement intérieur. Le nombre de pièces, noté n, est un entier au moins égal à 2. Ces pièces sont congruentes, c’est-à-dire superposables entre elles, et chacune est semblable au polygone initial. Une rotation ou une symétrie peut changer leur orientation sans changer leur forme. On appelle n l’ordre du reptuile.

Si le rapport de réduction d’une pièce est noté r, les aires sont multipliées par r². Comme n petites aires reconstituent la grande, le rapport est imposé : $r=\frac{1}{\sqrt{n}}r=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{n\}\}$. Cette condition d’aire est nécessaire, mais elle ne donne pas à elle seule une découpe : il faut encore disposer réellement les copies dans le contour initial.

Le demi-triangle équilatéral fournit un reptuile d’ordre 3. Le Sphinx est un autre exemple célèbre. Solomon Golomb a étudié ces figures et est aussi connu pour sa redécouverte des polyominos. Parce qu’une copie peut à son tour recevoir la même découpe, un reptuile peut servir de motif de base à des pavages autosimilaires.

On considère un demi-triangle équilatéral dont les côtés mesurent exactement √3, 3 et 2√3 unités. Données : son petit côté vaut √3 ; son grand côté vaut 3 ; son hypoténuse vaut 2√3 ; la découpe annoncée comporte trois pièces.

1. L’aire du grand triangle vaut $\frac{\sqrt{3}\times 3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\backslash times\; 3\}\{2\}=\backslash frac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$ unité carrée.
2. Chaque petit triangle a pour côtés 1, √3 et 2 unités. Son aire vaut donc $\frac{1\times \sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\backslash frac\{1\backslash times\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$ unité carrée.

3. Deux segments intérieurs partagent le grand contour en trois triangles de côtés 1, √3 et 2. Les pièces sont donc superposables et semblables au grand triangle, avec le rapport de réduction 1/√3.
4. Le contrôle d’aire donne exactement $3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}3\backslash times\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}=\backslash frac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$ : les trois pièces couvrent toute l’aire.

Le demi-triangle équilatéral est donc bien un reptuile d’ordre 3. Pour refaire le contrôle, il suffit de mesurer les trois longueurs de chaque pièce, puis de comparer la somme de leurs aires à celle du grand triangle.

Pour vérifier une découpe proposée, comparez d’abord les morceaux entre eux : leurs longueurs correspondantes doivent être égales. Comparez ensuite chaque morceau au contour initial : tous les rapports de longueurs doivent donner le même facteur de réduction.

Pour construire un pavage autosimilaire, remplacez chaque copie par la même découpe réduite. Cette répétition convient lorsque le motif doit réapparaître à plusieurs échelles ; un pavage ordinaire suffit si cette répétition de forme n’est pas recherchée.

Le contrôle des aires élimine vite une fausse proposition, mais ne certifie pas la découpe. Il faut aussi vérifier le contour commun, l’absence de trou et l’absence de chevauchement.

Reptuile et pavage. Un reptuile est un polygone doté d’une découpe interne en copies réduites. Un pavage décrit la couverture d’une région ou du plan par des tuiles. Le critère décisif est donc l’objet contrôlé : un contour qui se reproduit en lui-même, ou une surface couverte par répétition.

Reptuile et polymino. Un polymino est assemblé à partir de carrés unitaires accolés, tandis qu’un reptuile est défini par la similitude entre chaque pièce et le polygone entier. Pour trancher, on vérifie soit la grille de carrés, soit la présence de copies réduites du contour initial.

Des pièces seulement semblables ne suffisent pas. Dans la définition retenue ici, elles doivent aussi être superposables entre elles. Si leurs tailles diffèrent, il s’agit d’une autre décomposition autosimilaire, pas d’un reptuile au sens donné.

Le facteur d’échelle ne prouve pas l’existence. Pour un ordre n, l’aire impose le facteur 1/√n. Ce calcul est seulement un filtre : sans placement exact des n copies, la propriété n’est pas établie.

Le carré marque un cas charnière. Une grille de 2 par 2 le découpe en quatre carrés superposables, mais aucune découpe en trois carrés superposables ne convient. Il est donc d’ordre 4 dans cette construction, et non d’ordre 3.

Un dessin presque joint n’est pas une découpe. Une fente, un chevauchement ou un morceau qui dépasse invalide la réunion. Il faut contrôler les frontières partagées aussi bien que la somme des aires.

Le glossaire pavage autosimilaire prolonge la découpe d’un reptuile vers des motifs qui reproduisent leur structure à plusieurs échelles.

Le glossaire polymino présente les assemblages de carrés unitaires associés aux travaux de Solomon Golomb et permet de distinguer les deux familles de figures.