pentamino

Imaginez cinq petits carrés de même taille découpés dans du papier. En les faisant se toucher côté contre côté, vous obtenez une seule pièce plane : c’est un pentamino. Les carrés doivent partager des côtés, et non seulement des coins. Leur arrangement peut dessiner une forme compacte, une ligne brisée ou une autre silhouette, mais la pièce contient toujours cinq carrés. Le mot pentomino désigne le même objet.

Un pentamino est un polyomino, c’est-à-dire une figure obtenue en assemblant des carrés congruents par des côtés entiers. Sa différence spécifique est le nombre de carrés assemblés : il en comporte exactement cinq. « Congruents » signifie que les cinq carrés ont la même forme et les mêmes dimensions ; ils peuvent toutefois être tournés ou retournés dans le plan.

La condition de contact porte sur les côtés. Deux carrés qui se touchent uniquement par un sommet ne créent pas une liaison suffisante pour l’assemblage. La pièce doit aussi être connexe : depuis n’importe quel carré, on doit pouvoir atteindre les quatre autres en passant de carré en carré par des côtés communs.

La forme dépend de la disposition relative des cinq carrés, mais pas de leur couleur ni de leur orientation globale. Un même pentamino peut donc être posé autrement sans cesser d’être le même assemblage. Le terme pentomino est une variante d’écriture courante du même nom.

Pour construire un exemple, prenez cinq carrés unitaires et disposez-les en forme de T : quatre carrés alignés horizontalement et un cinquième placé sous le deuxième carré. Les données sont donc les suivantes : cinq carrés, une même longueur de côté, trois contacts latéraux dans la rangée et un contact avec le carré inférieur, soit quatre contacts au total.

La rangée supérieure contient 4 carrés.
Le carré inférieur ajoute 1 carré : 4 + 1 = 5.
Il partage un côté avec le deuxième carré, donc l’ensemble reste relié par les côtés.
La figure obtenue est ainsi un pentamino de forme T.

Le contrôle consiste à compter les cellules et les liaisons visibles. On retrouve cinq carrés de même taille, et chaque carré peut être atteint depuis un autre par une suite de côtés communs.

Dans un puzzle géométrique, un pentamino sert de pièce à déplacer ou à retourner. Le geste consiste à placer ses cinq carrés dans un contour sans chevauchement ; on vérifie ensuite que chaque carré du contour est couvert.

Pour fabriquer une pièce, on peut dessiner une grille, marquer cinq cases et conserver au moins une chaîne de côtés communs entre elles. Une simple diagonale entre deux cases ne suffit pas.

Pour décrire une forme sans ambiguïté, on indique la disposition des cases plutôt que la couleur de la pièce. Une grille est préférable à un dessin libre lorsque les contacts par les côtés doivent être vérifiés.

Pentamino et polyomino. Le polyomino est la famille générale des figures formées de carrés assemblés par leurs côtés. Le pentamino en est le cas particulier à cinq carrés. Une figure de six carrés peut donc être un polyomino, mais pas un pentamino.

Contact par un côté et contact par un sommet. Dans un pentamino, deux carrés reliés doivent avoir un côté commun. Si deux groupes de carrés ne se touchent qu’en diagonale, le dessin ne forme pas un assemblage connexe au sens de la définition.

Six carrés au lieu de cinq. Le symptôme est un comptage supérieur à cinq. La figure peut encore être un polyomino, mais elle sort de la catégorie pentamino ; il faut retirer un carré ou employer le terme plus général.

Deux groupes séparés. Le symptôme est l’impossibilité de rejoindre un carré depuis un autre en suivant des côtés communs. Même si le total vaut cinq, l’ensemble n’est pas un pentamino ; il faut rétablir un contact latéral ou décrire plusieurs pièces.

Contact seulement diagonal. Deux carrés peuvent sembler proches tout en ne partageant aucun côté. Le bon réflexe consiste à vérifier la frontière commune : un sommet partagé ne compte pas comme liaison.

Carrés de tailles différentes. Le symptôme est une figure composée de cinq cases, mais certaines ont une autre dimension. Le nombre cinq ne suffit alors pas : l’assemblage doit aussi conserver la congruence des carrés.

Une fois le critère d’assemblage maîtrisé, on peut comparer systématiquement les silhouettes obtenues à partir de cinq carrés. Cette étude mène aux questions de symétrie, de rotations et de retournements, puis aux problèmes de pavage où plusieurs pièces doivent couvrir une région sans trou ni chevauchement.