polycube

Imaginez quatre petits cubes identiques. Posez-en un, puis collez les trois autres contre trois de ses faces : une à droite, une derrière et une au-dessus. L'ensemble forme un polycube d'ordre 4, donc un tétracube. Un contact par une simple arête ou un sommet ne suffit pas : deux faces carrées doivent coïncider. Faire tourner ou retourner l'objet ne crée pas une nouvelle forme.

Un polycube est un assemblage fini de cubes de même taille, placés sur une grille tridimensionnelle et reliés par des faces entières. L'ordre de l'assemblage est son nombre de cubes. Un polycube d'ordre 3 est un tricube ; aux ordres 4, 5, 6 et 7, on parle respectivement de tétracube, pentacube, hexacube et heptacube.

Dans la convention retenue ici, deux assemblages représentent le même polycube lorsqu'une rotation ou un retournement permet de les superposer. La position dans l'espace, l'orientation et l'échelle du dessin ne définissent donc pas une nouvelle forme. En revanche, changer quels cubes partagent une face peut changer le polycube.

Avec cette convention, il existe 2 tricubes, 8 tétracubes, 29 pentacubes, 166 hexacubes et 1 023 heptacubes distincts. Ces valeurs proviennent d'un dénombrement des formes possibles. Aucune formule générale connue ne donne directement le nombre de polycubes pour un ordre arbitraire.

On construit un assemblage avec quatre cubes identiques. Le cube central est noté A. Les cubes B, C et D doivent chacun partager une face entière avec A, dans trois directions perpendiculaires.

Données :
4 cubes de même taille ;
1 cube central A ;
3 cubes B, C et D accolés à trois faces différentes de A.

1. Placez A, puis accolez B à sa face droite. Les deux cubes sont reliés par une face entière.

2. Accolez C à une face de A perpendiculaire au contact précédent, puis D à la face supérieure de A. B, C et D touchent A, mais ne se touchent pas entre eux par une face.

3. Comptez les cubes : 1 cube central + 3 branches = 4 cubes. L'assemblage est donc un tétracube. Pour contrôler, suivez les contacts face contre face depuis A : les quatre cubes appartiennent bien à un seul assemblage. Une rotation de l'objet conserve ces contacts et ne produit pas un neuvième tétracube.

Avec des cubes emboîtables, on peut construire une forme puis vérifier chaque jonction. Si deux pièces ne se touchent que par une arête ou un sommet, il faut déplacer l'une d'elles : ce contact ne relie pas un polycube.

Pour comparer deux modèles, on essaie d'abord de faire tourner l'un d'eux, puis de le retourner. Si tous les contacts face contre face coïncident, on conserve un seul représentant ; sinon, les formes restent distinctes.

Pour recenser les formes d'un ordre donné, on ajoute un cube sur chaque face extérieure disponible des formes d'ordre précédent. Après chaque ajout, on élimine les assemblages déconnectés et les doublons obtenus par rotation ou retournement. Cette procédure de génération et de comparaison remplace une formule générale qui n'est pas connue.

Polycube et polyomino. Un polycube assemble des cubes dans l'espace ; un polyomino assemble des carrés dans le plan. Une rangée de quatre carrés est un polyomino, tandis qu'une rangée de quatre cubes est un tétracube.

Polycube et simple groupe de cubes. Un tas de cubes n'est pas forcément un polycube. Le test porte sur les contacts : tous les cubes doivent être reliés, directement ou par une chaîne, au moyen de faces entières. Deux cubes qui se touchent seulement par un sommet ne forment pas à eux seuls un polycube.

Convention d'équivalence. Les nombres 2, 8, 29, 166 et 1 023 supposent que rotations et retournements ne créent pas de nouvelles formes. Si l'on distingue les images miroir, le problème de dénombrement change ; il faut annoncer la convention avant de comparer des résultats.

Contact insuffisant. Une arête ou un sommet commun peut donner l'impression d'un assemblage continu. Le symptôme est l'absence de face carrée partagée. Il faut alors retirer ce contact du graphe des voisinages et vérifier que tous les cubes restent reliés par des faces.

Pas de formule générale. Les valeurs connues aux ordres 3 à 7 ne dessinent pas une règle que l'on puisse prolonger avec certitude. Pour un autre ordre, il faut engendrer et comparer les assemblages, sans extrapoler une suite à partir des cinq nombres donnés.

L'article polymino présente l'analogue plan : des carrés joints côté contre côté. Ce passage de deux à trois dimensions aide à isoler ce que la profondeur ajoute au dénombrement.