cube Gribonval

Imaginez cinq pièces formées de petits cubes que vous devez emboîter. Deux pièces comptent six cubes chacune et trois pièces en comptent cinq. Leur volume total est donc exactement celui d’un grand cube de 3 × 3 × 3, qui contient 27 petits cubes.

Le défi ne consiste pas seulement à obtenir le bon volume : les pièces doivent aussi remplir le grand cube sans trou, chevauchement ni dépassement. La source annonce trois assemblages distincts ; l’absence de convention de symétrie est précisée dans la section des limites.

Le cube Gribonval est un problème d’empilement de polycubes, c’est-à-dire de pièces constituées de cubes élémentaires accolés. Le jeu comporte cinq pièces : deux hexacubes, dont chacune contient six cubes élémentaires, et trois pentacubes, dont chacune en contient cinq.

La cible est un cube de côté 3, noté ici 3 × 3 × 3 pour rappeler ses trois dimensions. Son volume contient 27 cubes élémentaires. Les pièces fournissent le même nombre, car deux hexacubes apportent 2 × 6 cubes et trois pentacubes apportent 3 × 5 cubes. Cette égalité de volume est nécessaire, mais elle ne garantit pas que les pièces s’assemblent effectivement.

Une solution est un placement des cinq pièces qui remplit exactement le cube cible, sans chevauchement ni case vide. La définition retenue annonce trois solutions distinctes ; l’absence de convention de symétrie est précisée dans la section des limites.

La structure du casse-tête repose sur quatre éléments. Les deux hexacubes sont les pièces de six cubes élémentaires ; les trois pentacubes sont les pièces de cinq cubes élémentaires. Les cubes élémentaires constituent les unités qui s’accolent pour former chaque polycube. Enfin, le cube cible de dimensions 3 × 3 × 3 fournit l’espace à remplir.

Le nombre de cubes élémentaires dans chaque pièce détermine son volume, tandis que la manière dont ils sont accolés détermine sa forme. Ces deux informations sont liées : elles permettent de vérifier le volume total, mais seule la forme des pièces permet de juger si un placement remplit réellement le cube cible. L’orientation d’une pièce pendant l’assemblage ne change pas son nombre de cubes.

Pour contrôler une tentative d’assemblage, on dispose de cinq pièces : deux hexacubes de six cubes élémentaires chacune et trois pentacubes de cinq cubes élémentaires chacune. La cible est un cube de 3 × 3 × 3, soit 27 cubes élémentaires.

On additionne le volume des deux hexacubes : 2 × 6 = 12 cubes élémentaires.
On additionne le volume des trois pentacubes : 3 × 5 = 15 cubes élémentaires.
On réunit les deux contributions : $2\times 6+3\times 5=12+15=272\backslash times6+3\backslash times5=12+15=27$.
On compare ce total à celui de la cible : $3\times 3\times 3=273\backslash times3\backslash times3=27$.

Le contrôle de volume est donc réussi : les cinq pièces contiennent exactement 27 cubes élémentaires. Ce calcul établit une condition nécessaire, mais ne constitue pas à lui seul la vérification d’un assemblage.

Dans une manipulation concrète, on commence par séparer les cinq pièces et compter leurs cubes élémentaires. Ce comptage permet de vérifier que l’on travaille bien avec deux hexacubes et trois pentacubes.

Lors d’une tentative, on place les pièces dans le volume du cube cible en surveillant les cases vides et les chevauchements. Une disposition qui laisse un espace ou dépasse du cube n’est pas une solution, même si le volume total est correct.

Pour comparer les résultats, on conserve chaque assemblage qui remplit exactement le cube. La source en annonce trois distincts ; l’absence de convention de symétrie est rappelée dans la section des limites.

Le cube 3 × 3 × 3 est la cible géométrique ; le cube Gribonval est le casse-tête formé par les cinq pièces et la recherche d’un assemblage. Le critère qui les sépare est le nombre d’objets : un seul cube cible contre deux hexacubes et trois pentacubes à placer. Une boîte déjà remplie au bon volume montre la cible, mais elle ne constitue un cube Gribonval que si les cinq pièces du problème y sont identifiées et assemblées.

Le piège principal est de confondre égalité des volumes et solution géométrique. Le seuil est exact : les pièces totalisent 2 × 6 + 3 × 5 = 27 cubes élémentaires, comme la cible 3 × 3 × 3. Pourtant, une tentative peut encore laisser une case vide, créer un chevauchement ou dépasser du cube. Dans ces cas, il faut contrôler le placement des pièces, et non refaire seulement l’addition.

Le mot « solution » doit également être pris dans le sens du problème étudié. La source annonce trois solutions distinctes, mais ce nombre ne peut pas être vérifié indépendamment dans ce paquet : les formes des pièces ne sont pas fournies et la convention qui déciderait si deux positions symétriques comptent comme une seule ou comme deux n’est pas précisée. Il faut donc conserver cette convention ouverte plutôt que déduire un nombre différent par inspection.

Pour prolonger, comparez deux problèmes d’empilement de polycubes : calculez d’abord le volume de leurs pièces, puis demandez quelles formes ou quels placements supplémentaires seraient nécessaires pour conclure à un remplissage. Vous distinguez ainsi un bilan de cubes d’une solution géométrique complète.