pentac

Posez cinq cubes identiques sur une table et assemblez-les par leurs faces, sans en placer aucun au-dessus d'un autre. L'objet obtenu n'occupe qu'une seule couche. Vu de dessus, chaque cube apparaît comme un carré : l'ensemble forme donc une figure de cinq carrés accolés. Cet assemblage est un pentac. Sa version plane est exactement un pentomino.

Un pentac est un pentacube plat. Il est constitué de cinq cubes unitaires assemblés face contre face, et tous ces cubes appartiennent à une même couche. Les cinq cubes forment un seul assemblage : une simple rencontre par une arête ou par un sommet ne suffit pas pour les joindre.

La projection perpendiculaire au plan de la couche remplace chaque cube par un carré unitaire. Les faces partagées deviennent alors des côtés partagés. On obtient ainsi un pentomino, c'est-à-dire un polyomino composé de cinq carrés unitaires jointifs. Réciproquement, on peut donner une épaisseur unitaire à chacun des cinq carrés d'un pentomino : les cinq cubes obtenus composent un pentac.

La forme dépend des voisinages entre cubes, pas de sa position sur la table. Une translation, une rotation ou un retournement conserve donc la propriété d'être un pentac. En revanche, déplacer un cube dans une seconde couche produit un pentacube non plat.

Construisons un assemblage en croix sur un quadrillage. Les deux coordonnées d'une case indiquent sa colonne puis sa ligne. Les données sont cinq cubes unitaires, une seule couche et les cases (0, 0), (1, 0), (−1, 0), (0, 1) et (0, −1).

1. Placez le premier cube sur la case centrale (0, 0).

2. Placez les quatre autres cubes sur les quatre cases qui partagent un côté avec la case centrale. Chaque nouveau cube partage alors une face avec le cube central.

3. Comptez les cubes : le cube central et ses quatre voisins donnent exactement 1 + 4 = 5 cubes.

4. Contrôlez la planéité : les cinq cubes sont dans la même couche. Leur vue de dessus comporte cinq carrés et quatre côtés partagés. L'assemblage est donc un pentac, et son empreinte est un pentomino en croix.

Le contrôle peut être refait sans dessin : les cinq positions sont distinctes, et chacune des quatre positions extérieures diffère de la position centrale d'une unité dans une seule direction.

Avec des cubes emboîtables, on reconnaît un pentac en comptant cinq cubes, puis en vérifiant qu'ils restent dans une seule couche et que l'assemblage tient par des faces. Si un cube monte au-dessus de cette couche, il faut parler plus largement de pentacube.

Sur papier quadrillé, on travaille directement avec l'empreinte plane. Il suffit de dessiner cinq cases reliées par des côtés. Cette représentation en pentomino est préférable lorsque seule la disposition compte, car l'épaisseur des cubes n'ajoute alors aucune information.

Pour comparer deux assemblages, on peut faire glisser, tourner ou retourner l'un d'eux avant de confronter les voisinages. Le critère observable reste la façon dont les cinq cubes partagent leurs faces, et non leur orientation initiale.

Pentacube non plat. Il possède lui aussi cinq cubes unitaires joints face à face, mais au moins un cube appartient à une autre couche. Un empilement comprenant un cube posé sur un autre est donc un pentacube, mais pas un pentac.

Polyomino d'un autre ordre. Un polyomino peut comporter un nombre de carrés différent de cinq. Une figure plane de quatre carrés jointifs appartient bien à cette famille, mais elle ne peut pas être l'empreinte d'un pentac.

Contact insuffisant. Deux cubes qui se touchent seulement par une arête ou un sommet ne sont pas joints face à face. Si ce contact est le seul lien entre deux groupes, l'ensemble ne constitue pas un pentac ; il faut rapprocher un cube jusqu'à partager une face.

Planéité trompeuse. Une vue de dessus peut masquer un cube placé sur un autre. Le symptôme est une empreinte de moins de cinq carrés alors que l'objet compte cinq cubes. Une vue latérale permet de contrôler qu'il n'existe qu'une couche.

Comptage des formes. Tourner ou retourner un assemblage ne change pas sa nature de pentac. En revanche, une énumération doit annoncer si les images miroir sont regroupées ou distinguées ; sans cette convention, deux totaux peuvent différer sans que l'un soit faux.

Le pentomino permet d'étudier directement l'empreinte plane d'un pentac et les assemblages de cinq carrés unitaires.

Le polymino replace cette figure dans la famille plus large des assemblages plans de carrés jointifs.