GéométrieObjet géométrique · Glossaire
patron d'un cube
Le patron d'un solide est un développement plan permettant, par pliage, de reconstituer la surface du solide. La surface d'un cube étant composée de six faces carrées de même dimension, tout patron d'un cube est nécessairement constitué de six carrés égaux accolés le long de leurs côtés. La question est alors de déterminer toutes les dispositions possibles de ces six carrés qui permettent effectivement de former un cube par pliage. À une isométrie près (c'est-à-dire en ne distinguant pas les figures obtenues par translation, rotation ou réflexion), il existe exactement onze patrons distincts pour le cube.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer six carrés accolés d’un patron qui se referme effectivement en cube.
- Suivre le pliage d’une disposition valide de six carrés de 3 cm de côté.
- Interpréter le nombre onze à rotation et symétrie près.
- Reconnaître les contacts, dimensions et recouvrements qui invalident un dessin.
En clair
Une feuille porte six carrés identiques reliés bord à bord. En relevant ces carrés le long de leurs côtés communs, on cherche à fermer une boîte cubique : chaque carré devient une face.
Le dessin à plat est un patron d’un cube seulement si le pliage reconstitue toute la surface du cube. Certaines dispositions échouent, même avec six carrés égaux. En considérant comme identiques les dessins que l’on peut tourner ou retourner, on obtient exactement onze patrons.
Définition
Un patron d’un cube est un développement plan de la surface du cube. Il réunit six carrés de même dimension, accolés par certains de leurs côtés. Ces côtés communs deviennent des lignes de pliage. La disposition est valide lorsque le pliage fait correspondre les six carrés aux six faces du cube et referme toute sa surface. La présence de six carrés égaux est donc nécessaire, mais elle ne suffit pas à elle seule.
Si la longueur du côté de chaque carré est notée c, l’aire totale du patron vaut . Cette égalité contrôle la quantité de surface, mais pas la possibilité du pliage : l’agencement des carrés reste décisif.
Deux dessins obtenus l’un de l’autre par translation, rotation ou réflexion représentent le même patron à une isométrie près. Avec cette convention, il existe exactement onze patrons distincts du cube.
De quoi c'est fait
Un patron de cube comporte six carrés égaux, un pour chaque face. Les côtés partagés relient les carrés et servent de lignes de pliage. Les autres côtés forment le contour extérieur du dessin à plat ; après pliage, ils rencontrent les bords des faces voisines. Enfin, la disposition relative des six carrés détermine si la surface peut se fermer.
L’égalité des carrés garantit des faces de même dimension, tandis que leurs raccords indiquent quelles faces restent voisines pendant le pliage. Ces deux données permettent de construire puis de tester le solide. L’orientation du dessin sur la feuille, sa couleur ou son échelle ne modifient pas le type de disposition ; la longueur commune des côtés fixe la taille du cube obtenu.
Un exemple, pas à pas
On part de six carrés de 3 cm de côté. Quatre carrés sont alignés. Un cinquième est placé au-dessus du deuxième carré de la rangée et le sixième au-dessous de ce même carré.
1. Le deuxième carré de la rangée sert de face centrale. Il partage un côté avec quatre carrés : celui de gauche, celui de droite, celui du haut et celui du bas.
2. On relève ces quatre carrés autour de la face centrale. Ils deviennent quatre faces latérales distinctes.
3. Le quatrième carré de la rangée, relié au troisième, vient fermer le cube en face de la face centrale. Les six positions sont alors occupées sans recouvrement.
4. Chaque carré a une aire de 32 = 9 cm2. L’aire du patron est donc .
Le contrôle se refait de deux façons : le pliage ferme bien six faces distinctes, et le dessin contient six carrés de 9 cm2, soit 54 cm2 au total.
En pratique
Pour construire un cube à partir d’une seule feuille, on choisit un patron valide plutôt que six faces séparées. Le critère visible est la continuité du dessin : les carrés restent reliés par les côtés qui seront pliés.
Pour tester une disposition incertaine, un pliage en papier remplace avantageusement une décision fondée sur l’apparence seule. Si deux carrés se recouvrent ou si la surface ne se ferme pas, la disposition est rejetée.
Pour comparer deux dessins, on essaie d’abord de faire coïncider leurs carrés par rotation ou symétrie. Cette comparaison évite de compter comme nouveau patron un dessin qui ne diffère que par son orientation sur la feuille.
À ne pas confondre
Le cube et son patron. Le cube est le solide reconstitué ; son patron est la surface développée dans le plan. Le premier occupe l’espace, tandis que le second tient à plat avant le pliage.
Un assemblage de six carrés et un patron de cube. Six carrés égaux accolés sont une condition nécessaire. Le dessin n’est un patron que si un pliage effectif forme le cube sans laisser sa surface incomplète.
Deux orientations et deux patrons distincts. Une rotation ou une symétrie peut changer l’apparence du dessin sans changer ses raccords. Si les deux figures coïncident ainsi, elles comptent pour un seul patron.
Limites et pièges
Contact par un sommet. Deux carrés qui se touchent seulement en un point ne sont pas accolés le long d’un côté. Ce contact ne fournit aucune ligne de pliage ; il faut relier les faces bord à bord.
Carrés de dimensions différentes. Le symptôme est un côté plus long ou plus court que les autres. La figure ne peut pas représenter les six faces égales d’un cube ; il faut repartir de six carrés égaux.
Six carrés, mais un pliage impossible. Le nombre de carrés et leur égalité ne valident pas la disposition. Dès que deux faces se recouvrent ou que la surface ne se ferme pas, il faut rejeter ce dessin.
Comptage sans convention. Le seuil de onze vaut à une isométrie près. Avant de compter un douzième patron, il faut vérifier qu’il ne s’agit pas de l’un des onze dessins simplement tourné ou réfléchi.
Pour aller plus loin
Polyèdre : replace le cube parmi les solides dont la surface est formée de faces planes.
Solide de Platon : situe le cube dans la famille des polyèdres réguliers.
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