triomino

Prenez trois carreaux carrés identiques et joignez-les par des côtés entiers, sans les superposer. Vous obtenez un triomino. Les carreaux peuvent former une barre de trois cases ou tourner une fois pour dessiner un L.

Déplacer, tourner ou retourner l'assemblage ne crée pas une nouvelle forme. Ce qui compte est la manière dont les trois carrés se touchent.

Un triomino est un polyomino constitué de trois carrés congruents, c'est-à-dire de même taille. L'assemblage est connexe par les côtés : chaque carré appartient au même ensemble grâce à au moins un côté entier commun. Un simple contact par un sommet ne suffit donc pas.

À rotation ou symétrie près, il existe exactement deux configurations. Le triomino rectiligne place les trois carrés sur une même ligne. Le triomino en L place deux carrés dans une direction, puis le troisième perpendiculairement à une extrémité. Leur orientation sur la page ne change pas leur configuration.

Si le côté commun des carrés mesure une unité de longueur, chaque configuration couvre exactement trois unités carrées. Cette aire commune ne permet toutefois pas de distinguer les deux formes ; il faut observer l'alignement des carrés.

On veut construire toutes les configurations d'un triomino avec trois carrés identiques. Les données sont trois carrés, des contacts par côté entier et l'absence de superposition. Une représentation des deux résultats rend visible le changement de direction qui les sépare.

1. Assemblez deux carrés par un côté.
2. Accolez le troisième dans le prolongement : les trois carrés donnent la forme rectiligne.
3. Revenez aux deux premiers carrés et accolez le troisième sur un côté perpendiculaire situé à une extrémité : vous obtenez la forme en L.
4. Tournez ou retournez ces assemblages : leur alignement ne change pas, donc aucune troisième configuration n'apparaît.

Le contrôle est refaisable : dans la première forme, les trois centres sont alignés ; dans la seconde, ils ne le sont pas. Chaque assemblage contient bien trois carrés et couvre trois unités carrées si chaque carré a un côté d'une unité.

Dans un problème de pavage, on choisit la forme rectiligne lorsqu'une bande offre trois cases consécutives. Si la région présente un angle droit formé de trois cases, la forme en L est la candidate naturelle.

Pour inventorier des polyominos, on classe les assemblages d'après leurs contacts, puis on regroupe ceux qu'une rotation ou une symétrie fait coïncider. Avec trois carrés, ce tri laisse seulement la barre et le L.

Dans une preuve de pavage par récurrence, un triomino peut servir de pièce retirée ou ajoutée à chaque étape. Il faut alors vérifier que sa forme correspond exactement aux trois cases concernées.

Un polyomino. Ce nom désigne la famille des assemblages de carrés congruents joints par des côtés. Compter les carrés tranche : avec exactement trois carrés, le polyomino est un triomino.

Un domino. Il ne contient que deux carrés congruents accolés, contre trois pour un triomino. Une rangée de deux cases est donc un domino ; l'ajout d'une troisième case par un côté produit un triomino.

Contact par un sommet. Trois carrés qui se touchent seulement en un coin ne forment pas l'assemblage requis. Le symptôme est l'absence d'un côté commun ; il faut déplacer le carré jusqu'à partager un côté entier.

Orientation prise pour une nouvelle forme. Une barre verticale reste le même triomino rectiligne qu'une barre horizontale. Il faut superposer mentalement les pièces par rotation ou symétrie avant de les compter.

Aire compatible, pavage non garanti. Chaque triomino couvre trois cases, donc une région pavable doit avoir un nombre de cases divisible par trois. Ce test est seulement nécessaire : il faut encore vérifier que les formes se placent sans trou ni chevauchement.

Le glossaire polymino replace le triomino dans la famille obtenue en assemblant des carrés congruents par leurs côtés.

Cette mise en famille ouvre un problème de dénombrement : lorsque le nombre de carrés augmente, il faut décider quelles rotations et symétries représentent encore une même configuration.